Một đơn vị sản xuất ước tính rằng chi phí (đơn vị: triệu đồng) để sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là \(C\left( x \right) = 100x\left( {\sqrt {9{x^2} + 18x + 12}  - 3x} \right)\). Tìm hàm số \(f\left( x \right)\) biểu thị chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right)\).

a) Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\), hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\) liên tục trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} =  - \frac{1}{2}\).

c) Với \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\), hàm số \(f\left( x \right) =  - \frac{x}{2}\) liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

Hàm số \(y = \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(y = \sin x\) liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right) + \sin x\)liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

d) Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \frac{x}{2}\;\;} \right) =  - \frac{1}{2} = f\left( 1 \right)\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {x - 1} \right) =  - 3\).

b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x - 3}  - 2}}{{{x^2} - 49}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{x - 7}}{{\left( {{x^2} - 49} \right)\left( {\sqrt {x - 3}  + 2} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{1}{{\left( {x + 7} \right)\left( {\sqrt {x - 3}  + 2} \right)}} = \frac{1}{{56}}\].

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3}  - 2\sqrt {5 - x}  + \sqrt {7 - 3x} }}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3}  - 2 + 4 - 2\sqrt {5 - x}  + \sqrt {7 - 3x}  - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3}  - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{4 - 2\sqrt {5 - x} }}{{3{x^2} + 2x - 5}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {7 - 3x}  - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + 2} \right)}} + 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {2 + \sqrt {5 - x} } \right)}} - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {\sqrt {7 - 3x}  + 2} \right)}} = 0\).