Cho hình tứ diện SABC. Gọi M là trung điểm AC, G và H lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SBC.

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SGC) và (SAH).

b) Gọi K là điểm trên đoạn thẳng SM sao cho SM = 4SK. Đường thẳng BM cắt mặt phẳng (KGH) tại I. Tính tỉ số \(\frac{{IB}}{{IM}}\).

Lời giải

a) Xét hai mặt phẳng (SAH) và (SCG):

                       S là điểm chung thứ nhất.

                        Gọi N, P lần lượt là trung điểm AB, BC. Gọi O là giao điểm của AP và CN.

                       Do \(AP \subset \left( {SAH} \right)\) và \(CN \subset \left( {SCG} \right)\) nên suy ra O là điểm chung thứ hai.

Suy ra giao tuyến của mặt phẳng \[\left( {SGC} \right)\]và \[\left( {SAH} \right)\]là \(SO\).

b) Xét hai mặt phẳng \[\left( {KGH} \right)\]và \[\left( {SAC} \right)\], có

                          K là điểm chung;

                          \(GH\parallel AC\)

Suy ra giao tuyến của mặt phẳng \[\left( {KGH} \right)\]và \[\left( {SAC} \right)\] là \[Kx\], với \[Kx\]song song\[AC\].

\[Kx\]cắt \[SA\]tại \[E\], \[EG\]cắt \[AB\]tại \[L\].

Xét hai mặt phẳng \[\left( {KGH} \right)\]và \[\left( {SAC} \right)\], có

                          L là điểm chung;

                          \(GH\parallel AC\)

Suy ra giao tuyến của mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]và \[\left( {KGH} \right)\]là Ly, với Ly song song với \[AC\].

\[Ly\]cắt \[BM\]tại\[I\], suy ra I là giao điểm của \[BM\]và mp \[\left( {KGH} \right)\]

Từ \[N\]kẻ đường thẳng song song với \[SA\]cắt \[EL\]tại \[Q\]. Suy ra

\(NQ = \frac{1}{2}ES = \frac{1}{6}EA \Rightarrow \frac{{NQ}}{{EA}} = \frac{1}{6}\).

Xét tam giác \(BAM\) có \(LI\parallel AM\), suy ra\[\frac{{IB}}{{IM}} = \frac{{LB}}{{LA}}\]

Xét tam giác \(LAE\) có \(NQ\parallel AE\), suy ra  \[\frac{{LN}}{{LA}} = \frac{{NQ}}{{EA}} = \frac{1}{6}\] nên \[\frac{{LB}}{{IA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{IB}}{{IM}} = \frac{2}{3}\].