Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng 6. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng \(SB\) và điểm \(N\) thuộc đoạn thẳng \(SC\) sao cho \(NS = 2NC\). Phép chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) theo phương chiếu \(BD\) biến điểm \(M\) thành điểm \(P\). Phép chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) theo phương chiếu \(SA\) biến tam giác \(MNP\) thành hình \(T\). Khi đó diện tích hình \(T\) bằng bao nhiêu?

a) Vì  \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SB\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta SAB\).

Suy ra \(MN//AB\) mà \(AB//CD\) nên \(MN//CD\).

Lại có \(CD \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow MN//\left( {SCD} \right)\).

b) Ta có \(\left. \begin{array}{l}MN//AB//CD\\\left( {MNG} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = G\end{array} \right\} \Rightarrow \) giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua \(G\) và song song với \(AB\) cắt \(AD,BC\) lần lượt tại \(F,E\).

Suy ra \(F = AD \cap \left( {MNG} \right),E = BC \cap \left( {MNG} \right)\).

Vì \(EF//AB\) và \(MN//AB\) nên \(EF//MN\). Suy ra \(MNEF\) là hình thang, đáy lớn \(EF\).

Có \(EF = AB,MN = \frac{{AB}}{2} \Rightarrow MN = \frac{{EF}}{2}\) hay \(EF = 2MN\).

c) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Ta có \(S,O\) là hai điểm chung của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) nên \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

d) Có \(\frac{{AM}}{{AS}} = \frac{1}{2}\); \(\frac{{CG}}{{CO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{CG}}{{\frac{1}{2}AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{CG}}{{AC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AG}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).

Vì \(\frac{{AM}}{{AS}} \ne \frac{{AG}}{{AC}}\) nên \(MG\) không song song với \(SC\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Sai;   d) Sai.

\(I,K\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(CD\) nên \(IK\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\).

Suy ra \(IK//BD\).

Ta có \(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SIK} \right) \cap \left( {SBD} \right)\\IK//BD\end{array} \right\} \Rightarrow \)giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng qua \(S\) và song song với \(BD\) cắt \(MD\) tại \(F\).

Khi đó \(F = MD \cap \left( {SIK} \right)\).

Dễ dàng chứng minh \(SDBF\) là hình bình hành.

Ta có \(SF//BD\)\( \Rightarrow \frac{{MF}}{{MD}} = \frac{{MS}}{{MB}} = 1\).

Trả lời: 1.