Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng 6. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng \(SB\) và điểm \(N\) thuộc đoạn thẳng \(SC\) sao cho \(NS = 2NC\). Phép chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) theo phương chiếu \(BD\) biến điểm \(M\) thành điểm \(P\). Phép chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) theo phương chiếu \(SA\) biến tam giác \(MNP\) thành hình \(T\). Khi đó diện tích hình \(T\) bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(I,K\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(CD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SB\). Gọi \(F\) là giao điểm của \(DM\) và \(\left( {SIK} \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{MF}}{{MD}}\).

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \({G_1};{G_2}\) là trọng tâm của các tam giác \(A'BD,B'D'C\).

a) Chứng minh rằng \(\left( {A'BD} \right)//\left( {B'D'C} \right)\).

b) Chứng minh rằng \({G_1};{G_2}\) cùng thuộc \(AC'\) và chia \(AC'\) thành ba đoạn bằng nhau.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SD\).

a) Chứng minh rằng đường thẳng \(OM\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

b) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SCD\) và \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(OG\) với mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\). Chứng minh rằng đường thẳng \(SH\) song song với đường thẳng \(AD\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với \(AD//BC\) và \(AD = 2BC\). Gọi \(N\) là trung điểm của \(SA\); \(G,I\) lần lượt là trọng tâm của \(\Delta SAB\) và \(\Delta ABD\).

a) Chứng minh rằng \(GI//\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {BGI} \right)//\left( {SCD} \right)\).

b) Tìm giao điểm \(F\) của \(DN\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).