Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với \(AD//BC\) và \(AD = 2BC\). Gọi \(N\) là trung điểm của \(SA\); \(G,I\) lần lượt là trọng tâm của \(\Delta SAB\) và \(\Delta ABD\).

a) Chứng minh rằng \(GI//\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {BGI} \right)//\left( {SCD} \right)\).

b) Tìm giao điểm \(F\) của \(DN\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

a) Vì  \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SB\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta SAB\).

Suy ra \(MN//AB\) mà \(AB//CD\) nên \(MN//CD\).

Lại có \(CD \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow MN//\left( {SCD} \right)\).

b) Ta có \(\left. \begin{array}{l}MN//AB//CD\\\left( {MNG} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = G\end{array} \right\} \Rightarrow \) giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua \(G\) và song song với \(AB\) cắt \(AD,BC\) lần lượt tại \(F,E\).

Suy ra \(F = AD \cap \left( {MNG} \right),E = BC \cap \left( {MNG} \right)\).

Vì \(EF//AB\) và \(MN//AB\) nên \(EF//MN\). Suy ra \(MNEF\) là hình thang, đáy lớn \(EF\).

Có \(EF = AB,MN = \frac{{AB}}{2} \Rightarrow MN = \frac{{EF}}{2}\) hay \(EF = 2MN\).

c) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Ta có \(S,O\) là hai điểm chung của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) nên \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

d) Có \(\frac{{AM}}{{AS}} = \frac{1}{2}\); \(\frac{{CG}}{{CO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{CG}}{{\frac{1}{2}AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{CG}}{{AC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AG}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).

Vì \(\frac{{AM}}{{AS}} \ne \frac{{AG}}{{AC}}\) nên \(MG\) không song song với \(SC\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Sai;   d) Sai.

\(I,K\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(CD\) nên \(IK\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\).

Suy ra \(IK//BD\).

Ta có \(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SIK} \right) \cap \left( {SBD} \right)\\IK//BD\end{array} \right\} \Rightarrow \)giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng qua \(S\) và song song với \(BD\) cắt \(MD\) tại \(F\).

Khi đó \(F = MD \cap \left( {SIK} \right)\).

Dễ dàng chứng minh \(SDBF\) là hình bình hành.

Ta có \(SF//BD\)\( \Rightarrow \frac{{MF}}{{MD}} = \frac{{MS}}{{MB}} = 1\).

Trả lời: 1.