Một hình tam giác ABC có D là điểm chính giữa của BC, E là điểm chính giữa của CA, AD cắt BE ở G. Hãy chứng tỏ AG gấp đôi GD.

Hướng Dẫn Giải

Vì \(MN//BC \Rightarrow MNBC\) là hình thang.

Nối BN, CM

\({S_{BCM}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\) (\(BM = 30 - 20 = 10{\rm{ cm, }}\frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3}\), chung chiều cao hạ từ C)

\({S_{BMC}} = {S_{BNC}}\) (chung đáy BC, chiều cao là chiều cao hình thang MNBC)

Mà \({S_{ABC}} = 30 \times 45:2 = 675{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\)

\( \Rightarrow {S_{BNC}} = 675 \times \frac{1}{3} = 225{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\)

Độ dài NC = \(225 \times 2:30 = 15{\rm{ cm}}\)

Độ dài AN = \(45 - 15 = 30{\rm{ cm}}\)

\({S_{AMN}} = 30 \times 20:2 = 300{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\)

Đáp Số: \(300{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).

Hướng Dẫn Giải

Vì \(BP = \frac{1}{2}PA;CQ = \frac{1}{3}QA\) nên có:

\({S_{IAP}} = 2 \times {S_{IBP}}\); \({S_{IAQ}} = 3 \times {S_{ICQ}}\);

\({S_{IAP}} + {S_{IAQ}} + {S_{IBQ}} = \frac{2}{3} \times {S_{ABC}}\)

\({S_{IBP}} + {S_{IAP}} + {S_{IAQ}} = \frac{3}{4} \times {S_{ABC}}\)

Từ đó có được:

\({S_{IBP}} = \frac{1}{6} \times {S_{ABC}};{S_{IAP}} = \frac{1}{3} \times {S_{ABC}};{S_{IAQ}} = \frac{1}{4} \times {S_{ABC}};{S_{ICQ}} = \frac{1}{{12}} \times {S_{ABC}}\)

Vậy: \(\frac{{BJ}}{{JC}} = \frac{{{S_{IBJ}}}}{{{S_{ICJ}}}} = \frac{{{S_{IAP}} + {S_{IBP}} + {S_{IBJ}}}}{{{S_{IAQ}} + {S_{ICQ}} + {S_{ICJ}}}} = \frac{{{S_{IAP}} + {S_{IBP}}}}{{{S_{IAQ}} + {S_{ICQ}}}} = \frac{{\frac{1}{3} \times {S_{ABC}} + \frac{1}{6} \times {S_{ABC}}}}{{\frac{1}{4} \times {S_{ABC}} + \frac{1}{{12}} \times {S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{2}\)

Đáp Số: \(\frac{{BJ}}{{JC}} = \frac{3}{2}\)