Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 100, nếu tăng số thứ nhất lên 2 lần và cộng thêm số thứ hai 5 đơn vị thì số thứ nhất gấp 5 lần số thứ 2.

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, các đường cao \(AD,\) \(BE\) cắt nhau tại \(H.\)

a) Chứng minh: $\Delta ADC\backsim \Delta BEC.$

b) Chứng minh: \[HE \cdot HB = HA \cdot HD.\]

c) Gọi \(F\) là giao điểm của \(CH\) và \(AB.\) Chứng minh: \[AF \cdot AB = AH \cdot AD.\]

d) Chứng minh: \(\frac{{HD}}{{AD}} + \frac{{HE}}{{BE}} + \frac{{HF}}{{CF}} = 1.\)

Cho góc \(xAy.\) Trên tia \(Ax\) lấy hai điểm \(B\) và \(C\) sao cho \(AB = 8\;{\rm{cm,}}\) \(AC = 15\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Trên tia \(Ay\) lấy hai điểm \(D\) và \(E\) sao cho \(AD = 10\;{\rm{cm,}}\) \(AE = 12\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

a) Chứng minh $\Delta ABE\backsim \Delta ADC.$

b) Chứng minh \(AB \cdot DC = AD \cdot BE,\) sau đó tính \(DC\) biết \(BE = 10\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BE\) và \(CD.\) Chứng minh rằng \(IB \cdot IE = ID \cdot IC.\)

Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AC > BD.\) Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên đường thẳng \(AB\) và \(AD.\) Vẽ tia \(Dx\) cắt \(AC,\,\,AB,\,\,BC\) lần lượt tại \(I,\,\,M,\,\,N.\) Gọi \(J\) là điểm đối xứng với \(D\) qua \(I.\) Chứng minh:

a) \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CD}}.\)   

b) $\Delta CHK\backsim \Delta BCA.$

c) \(AB \cdot AH + AD \cdot AK = A{C^2}.\)          

d) \(IM \cdot IN = I{D^2}.\)

e) \(\frac{{JM}}{{JN}} = \frac{{DM}}{{DN}}.\)

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 6{\rm{\;cm}}\) và \(AC = 8{\rm{\;cm}}.\) Kẻ đường cao \(AH.\)

a) Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta HBA.$

b) Tính độ dài các cạnh \(BC\) và \(AH.\)

c) Tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) cắt \(AH\) tại \(E,\) cắt \(AB\) tại \(D.\) Tính tỉ số diện tích của \(\Delta ACD\) và \(\Delta HCE.\)

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \[AB = 6\,\,{\rm{cm}}\] và \[AC = 8\,\,{\rm{cm}}.\] Đường phân giác của góc \(ABC\) cắt cạnh \(AC\) tại \(D.\) Từ \(C\) kẻ \(CE \bot BD\) tại \(E.\)

a) Tính độ dài \(BC\) và tỉ số \(\frac{{AD}}{{DC}}.\)

b) Chứng minh  Từ đó suy ra \(BD \cdot EC = AD \cdot BC.\)

c) Chứng minh \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}.\)

d) Gọi \(EH\) là đường cao \(\Delta EBC.\) Chứng minh \(CH \cdot HB = ED \cdot EB.\)

Một ca nô xuôi dòng từ A đến B hết 1 giờ 20 phút và ngược dòng hết 2 giờ. Bết vận tốc dòng nước là \[3\]km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô?

Cho hình bình hành \(ABCD\;\left( {AB > BC} \right),\) điểm \(M \in AB.\) Đường thẳng \(DM\) cắt \(AC\) ở \(K,\) cắt \(BC\) ở \(N.\)

a) Chứng minh $\Delta ADK\backsim \Delta CNK.$

b) Chứng minh \(\frac{{KM}}{{KD}} = \frac{{KA}}{{KC}}.\) Từ đó chứng minh \(K{D^2} = KM \cdot KN.\)

c) Cho \(AB = 10\) cm, \(AD = 9\) cm, \(AM = 6\) cm. Tính \(CN.\)