Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AC > BD.\) Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên đường thẳng \(AB\) và \(AD.\) Vẽ tia \(Dx\) cắt \(AC,\,\,AB,\,\,BC\) lần lượt tại \(I,\,\,M,\,\,N.\) Gọi \(J\) là điểm đối xứng với \(D\) qua \(I.\) Chứng minh:

a) \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CD}}.\)   

b) $\Delta CHK\backsim \Delta BCA.$

c) \(AB \cdot AH + AD \cdot AK = A{C^2}.\)          

d) \(IM \cdot IN = I{D^2}.\)

e) \(\frac{{JM}}{{JN}} = \frac{{DM}}{{DN}}.\)

a) Ta có \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) \(\left( 1 \right)\) (tính chất hình bình hành)

Mà \(\widehat {HBC} = 180^\circ - \widehat {ABC}\) \(\left( 2 \right)\) (hai góc kề bù)

      \(\widehat {KDC} = 180^\circ - \widehat {ADC}\) \(\left( 3 \right)\) (hai góc kề bù)

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\), \(\left( 3 \right)\) suy ra \(\widehat {HBC} = \widehat {KDC}.\)

Xét \(\Delta CHB\) và \(\Delta CKD\) có:

\(\widehat {BHC} = \widehat {DKC} = 90^\circ \) và \(\widehat {HBC} = \widehat {KDC}\)

Do đó $\Delta CHK\backsim \Delta BCA$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{CH}}{{CK}} = \frac{{CB}}{{CD}}\) (tỉ số cạnh tương ứng), hay \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CD}}\) (tính chất tỉ lệ thức).

b) Ta có \(\widehat {ABC}\) là góc ngoài của \(\Delta BHC\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BHC} + \widehat {BCH} = 90^\circ + \widehat {BCH}\)\(\left( 4 \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(BC\,{\rm{//}}\,AD\) và \(AB = CD\) (tính chất hình bình hành)

Mà \(CK \bot AD\) nên \(CK \bot BC\) nên \(\widehat {BCK} = 90^\circ .\)

Do đó \(\widehat {KCH} = \widehat {BCK} + \widehat {BCH} = 90^\circ + \widehat {BCH}\) \(\left( 5 \right)\)

Từ \(\left( 4 \right)\) và \(\left( 5 \right)\) suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {KCH}.\)

Theo câu a, \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CD}}\) mà \(AB = CD\) nên \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{BA}}.\)

Xét \(\Delta CHK\) và \(\Delta BCA\) có: \(\widehat {KCH} = \widehat {ABC}\) và \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{BA}}\)

Do đó $\Delta CHK\backsim \Delta BCA$ (c.g.c).

c) Kẻ \(BE \bot AC\) tại \(E\) \(\left( {E \in AC} \right).\)

Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AHC\) có: \(\widehat {AEB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) và \(\widehat {HAC}\) là góc chung.

Do đó $\Delta AEB\backsim \Delta AHC$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AH}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(AB \cdot AH = AC \cdot AE\)\(\left( 6 \right)\)

Xét \(\Delta BCE\) và \(\Delta CAK\) có:

\(\widehat {BEC} = \widehat {CKA} = 90^\circ \) và \(\widehat {BCE} = \widehat {CAK}\) (hai góc so le trong, \(BC\,{\rm{//}}\,DA)\)

Do đó $\Delta BCE\backsim \Delta CAK$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{BC}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{AK}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(BC \cdot AK = AC \cdot CE\)

Mà \(BC = AD\) nên \(AD \cdot AK = AC \cdot CE\) \(\left( 7 \right)\)

Từ \(\left( 6 \right)\) và \(\left( 7 \right)\) suy ra: \(AB \cdot AH + AD \cdot AK = AC \cdot AE + AC \cdot CE\)

Hay \(AB \cdot AH + AD \cdot AK = AC\left( {AE + CE} \right) = A{C^2}.\)

d) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD;\;AD\,{\rm{//}}\,BC\) (tính chất hình bình hành)

Hay \(AM\,{\rm{//}}\,CD;\;AD\,{\rm{//}}\,NC.\)

Vì \(AD\,{\rm{//}}\,NC\) nên  do đó \(\frac{{IN}}{{ID}} = \frac{{IC}}{{IA}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) \(\left( 8 \right)\)

Vì \(AM\,{\rm{//}}\,DC\) nên do đó \(\frac{{ID}}{{IM}} = \frac{{IC}}{{IA}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) \(\left( 9 \right)\)

Từ \(\left( 8 \right)\) và \(\left( 9 \right)\) suy ra \(\frac{{IN}}{{ID}} = \frac{{ID}}{{IM}},\) nên \(IM \cdot IN = I{D^2}.\)

e) Theo câu d, ta có: \(IM \cdot IN = I{D^2},\) mà \(ID = IJ\) (vì \(J\) là điểm đối xứng với \(D\) qua \(I)\)

Do đó \(I{J^2} = IM \cdot IN\) nên \(\frac{{IJ}}{{IM}} = \frac{{IN}}{{IJ}}.\)

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có: \(\frac{{IJ - IM}}{{IM}} = \frac{{IN - IJ}}{{IJ}}\) hay \(\frac{{MJ}}{{IM}} = \frac{{NJ}}{{IJ}}\)

Suy ra \(\frac{{MJ}}{{NJ}} = \frac{{IM}}{{IJ}} = \frac{{IM}}{{ID}}\) (do \(ID = IJ).\)

Lại có \(AM\,{\rm{//}}\,CD,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{IM}}{{ID}} = \frac{{AM}}{{CD}}.\)

 Suy ra \(\frac{{MJ}}{{NJ}} = \frac{{AM}}{{CD}},\) mà \(CD = AB\) nên \(\frac{{MJ}}{{NJ}} = \frac{{AM}}{{AB}}\) \(\left( {10} \right)\)

Mặt khác, có \(NB\,{\rm{//}}\,AD\) nên theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{DM}}{{NM}}.\)

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có: \(\frac{{AM}}{{MB + AM}} = \frac{{DM}}{{MN + DM}}\) hay \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{DM}}{{DN}}\) \(\left( {11} \right)\)

Từ \(\left( {10} \right)\) và \(\left( {11} \right)\) suy ra \(\frac{{MJ}}{{NJ}} = \frac{{DM}}{{DN}}.\)