Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật có \(AB = 1,AD = 2\). Tam giác \(SAD\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Gọi \[O\] là tâm của hình vuông \(ABCD\).

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\).

Khi đó ta có \(OI \bot AB\) và \(OI = 3\).

Lại có \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AB\) mà \(OI \bot AB\) nên \(AB \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow AB \bot SI\).

Suy ra \(\left( {\left( {SAB} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {OI,SI} \right) = \widehat {SIO} = 45^\circ \).

Xét \(\Delta SOI\) vuông tại \(O\), \(\tan \widehat {SIO} = \frac{{SO}}{{OI}} \Rightarrow SO = OI = 3\).

Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {6^2} = 36\).

Trả lời: 36.

a) Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\)

\( \Rightarrow \Delta SBC\) là tam giác vuông tại \(B\).

b) Vì \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\) mà \(AH \bot SB\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

c) Vì \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) nên \(AH \bot SC\) mà \(AK \bot SC\)\( \Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK\) hay \(\left( {SC,HK} \right) = 90^\circ \).

d) Vì \(HK \bot SC\) và \(AK \bot SC\) nên \(SC \bot \left( {ADK} \right) \Rightarrow AD \bot SC\) (1).

Mà \(SA \bot \left( {ADC} \right) \Rightarrow SA \bot AD\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(AD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow AD \bot AC\) hay \(\left( {AC,AD} \right) = 90^\circ \).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Đúng;    d) Đúng.