Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{x - {x^2}}}\). Biết rằng \(f''\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\). Tính \({x_1} \cdot {x_2}\).   

a) Hàm số có đạo hàm trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) \(y' = f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\). Khi đó \(f'\left( 9 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}\).

c) \(y = f\left( {{x^2} + 1} \right) = \sqrt {{x^2} + 1} \).

Khi đó \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

d) Hệ số góc của tiếp tuyến là \(y'\left( 4 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} = \frac{1}{4}\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Đúng;     c) Sai;    d) Sai.

Ta có \(y' = - \frac{9}{{{x^2}}}\).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(M\) là \(y'\left( 3 \right) = - \frac{9}{{{3^2}}} = - 1\).

Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) với \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) là \(y = - \left( {x - 3} \right) + 3 = - x + 6\).

Đường thẳng \(\Delta \) cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm \(A\left( {6;0} \right),B\left( {0;6} \right)\) nên diện tích tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) bằng \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18\).

Trả lời: 18.