Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức \(S\left( t \right) = 15 + 2\sqrt 3 \sin \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)\) trong đó \(s\) tính bằng centimet và \(t\) tính bằng giây. Vận tốc cực đại của hạt bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Ta có \(v\left( t \right) = - 3t + 15\).

Thời điểm xảy ra va chạm thì ô tô đi được quãng đường 15,5 m.

Khi đó \( - \frac{3}{2}{t^2} + 15t = 15,5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{15 + 2\sqrt {33} }}{3}\\t = \frac{{15 - 2\sqrt {33} }}{3}\end{array} \right.\).

Vì \(0 \le t \le 5\) nên \(t = \frac{{15 - 2\sqrt {33} }}{3}\).

Khi đó vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm là

\(v\left( {\frac{{15 - 2\sqrt {33} }}{3}} \right) = - 3 \cdot \frac{{15 - 2\sqrt {33} }}{3} + 15 = 2\sqrt {33} \approx 11,5\) (m/s).

Trả lời: 11,5.

a) Điều kiện \(\frac{x}{{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 0\end{array} \right.\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).

b) Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)}^\prime }}}{{\frac{x}{{x + 1}}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cdot \frac{{x + 1}}{x} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} + x}}\).

c) \(y'\left( 3 \right) = \frac{1}{{{3^2} + 3}} = \frac{1}{{12}}\).

d) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

Do đó \(T = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2025} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}\)\( = 1 - \frac{1}{{2026}} = \frac{{2025}}{{2026}}\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Sai;       d) Đúng.