Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức \(S\left( t \right) = 15 + 2\sqrt 3 \sin \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)\) trong đó \(s\) tính bằng centimet và \(t\) tính bằng giây. Vận tốc cực đại của hạt bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

a) Điều kiện \(\frac{x}{{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 0\end{array} \right.\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).

b) Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)}^\prime }}}{{\frac{x}{{x + 1}}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cdot \frac{{x + 1}}{x} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} + x}}\).

c) \(y'\left( 3 \right) = \frac{1}{{{3^2} + 3}} = \frac{1}{{12}}\).

d) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

Do đó \(T = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2025} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}\)\( = 1 - \frac{1}{{2026}} = \frac{{2025}}{{2026}}\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Sai;       d) Đúng.

a) \(y' = f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\).

b) Có \({\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime }\)\( = {\left[ {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)\left( {1 - 2x} \right)} \right]^\prime }\)\( = \left( {3{x^2} - 6x} \right)\left( {1 - 2x} \right) - 2\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)\)

\( = - 8{x^3} + 21{x^2} - 6x - 2\).

Khi đó \({\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = 0\)\( \Leftrightarrow - 8{x^3} + 21{x^2} - 6x - 2 = 0\).

Thay lần lượt \(x = 0;x = 2\) vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.

Vậy \(T = \left\{ {0;2} \right\}\) không là tập nghiệm của phương trình\({\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = 0\).

c) Có \(y' = g'\left( x \right) = - 2\).

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) bằng \( - 2\).

d) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) là \(f'\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} - 6 \cdot 1 = - 3\).

Với \({x_0} = 1\) thì \({y_0} = - 1\).

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = - 3\left( {x - 1} \right) - 1 = - 3x + 2\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Sai;       d) Đúng.