Một ô tô đang chạy thì gặp chướng ngại vật. Người lái xe đã phanh gấp và rất may chỉ xảy ra va chạm nhẹ. Chiếc ô tô để lại vết trượt dài 15,5 m (được tính từ lúc bắt đầu đạp phanh cho đến khi xảy ra va chạm). Trong quá trình đạp phanh, ô tô chuyển động theo phương trình \(s\left( t \right) = - \frac{3}{2}{t^2} + 15t\), trong đó \(s\)(đơn vị: m) là độ dài quãng đường đi được sau khi phanh và \(t\)(đơn vị: giây) là thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh \(\left( {0 \le t \le 5} \right)\). Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm là bao nhiêu? (đơn vị: m/s) (chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười).

Vận tốc tức thời của vật là \(v\left( t \right) = x'\left( t \right) = - \pi \sin \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right)\) (cm/s).

Gia tốc tức thời của vật là \(a\left( t \right) = x''\left( t \right) = - \frac{{{\pi ^2}}}{4}\cos \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right)\) (cm/s²).

Ta có \(v\left( t \right) = \frac{\pi }{2}\left( {{\rm{cm/s}}} \right)\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8k\\t = \frac{{16}}{3} + 8k\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Với \(t = 8k\). Do \(t > 0 \Rightarrow 8k > 0 \Rightarrow k > 0\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \ge 1 \Rightarrow t \ge 8\) (1).

Với \(t = \frac{{16}}{3} + 8k\). Do \(t > 0 \Rightarrow \frac{{16}}{3} + 8k > 0 \Rightarrow k > - \frac{2}{3}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \ge 0 \Rightarrow t \ge \frac{{16}}{3}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra lần đầu tiên vật đạt vận tốc \(\frac{\pi }{2}\left( {{\rm{cm/s}}} \right)\) tại thời điểm \(t = \frac{{16}}{3}\) (giây).

Suy ra \(a\left( {\frac{{16}}{3}} \right) = \frac{{{\pi ^2}\sqrt 3 }}{8}\left( {{\rm{cm/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\).

a) \(y' = f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\).

b) Có \({\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime }\)\( = {\left[ {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)\left( {1 - 2x} \right)} \right]^\prime }\)\( = \left( {3{x^2} - 6x} \right)\left( {1 - 2x} \right) - 2\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)\)

\( = - 8{x^3} + 21{x^2} - 6x - 2\).

Khi đó \({\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = 0\)\( \Leftrightarrow - 8{x^3} + 21{x^2} - 6x - 2 = 0\).

Thay lần lượt \(x = 0;x = 2\) vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.

Vậy \(T = \left\{ {0;2} \right\}\) không là tập nghiệm của phương trình\({\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = 0\).

c) Có \(y' = g'\left( x \right) = - 2\).

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) bằng \( - 2\).

d) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) là \(f'\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} - 6 \cdot 1 = - 3\).

Với \({x_0} = 1\) thì \({y_0} = - 1\).

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = - 3\left( {x - 1} \right) - 1 = - 3x + 2\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Sai;       d) Đúng.