Một dao động điều hòa có phương trình dao động là \(x\left( t \right) = 4\cos \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right)\), trong đó \(t > 0\) là thời gian dao động và được tính bằng giây; \(x\left( t \right)\) là li độ của dao động và được tính bằng centimet. Tại thời điểm lần đầu tiên vât đạt vận tốc bằng \(\frac{\pi }{2}\) (cm/s) thì gia tốc của vật bằng bao nhiêu?

Vận tốc tức thời của vật là \(v\left( t \right) = x'\left( t \right) = - \pi \sin \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right)\) (cm/s).

Gia tốc tức thời của vật là \(a\left( t \right) = x''\left( t \right) = - \frac{{{\pi ^2}}}{4}\cos \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right)\) (cm/s²).

Ta có \(v\left( t \right) = \frac{\pi }{2}\left( {{\rm{cm/s}}} \right)\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8k\\t = \frac{{16}}{3} + 8k\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Với \(t = 8k\). Do \(t > 0 \Rightarrow 8k > 0 \Rightarrow k > 0\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \ge 1 \Rightarrow t \ge 8\) (1).

Với \(t = \frac{{16}}{3} + 8k\). Do \(t > 0 \Rightarrow \frac{{16}}{3} + 8k > 0 \Rightarrow k > - \frac{2}{3}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \ge 0 \Rightarrow t \ge \frac{{16}}{3}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra lần đầu tiên vật đạt vận tốc \(\frac{\pi }{2}\left( {{\rm{cm/s}}} \right)\) tại thời điểm \(t = \frac{{16}}{3}\) (giây).

Suy ra \(a\left( {\frac{{16}}{3}} \right) = \frac{{{\pi ^2}\sqrt 3 }}{8}\left( {{\rm{cm/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\).