B. Tự luận

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - 3{x^2} + 8x - 2\) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\).

a) Tính \(f'\left( x \right)\) và giải bất phương trình \(f'\left( x \right) \le 0\).

b) Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) biết rằng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(d:y = - \frac{1}{3}x + 2\) và tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ lớn hơn 2.

a) Ta có \(f'\left( x \right) = {x^2} - 6x + 8\).

Ta có \(f'\left( x \right) \le 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 \le 0\)\( \Leftrightarrow 2 \le x \le 4\).

b) Tiếp tuyến \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d:y = - \frac{1}{3}x + 2\) nên \(k \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) = - 1 \Leftrightarrow k = 3\).

Khi đó \(f'\left( x \right) = 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 1\end{array} \right.\).

D tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ lớn hơn 2 nên \(x = 5 \Rightarrow y = \frac{{14}}{3}\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của \(\Delta \) là \(y = 3\left( {x - 5} \right) + \frac{{14}}{3} = 3x - \frac{{31}}{3}\).