Hộp thứ nhất đựng 5 thẻ được đánh số từ 1 đến 5. Hộp thứ hai đựng 6 thẻ được đánh số từ 1 đến 6. Lấy ra ngoài ngẫu nhiên mỗi hộp một thẻ. Gọi \(A\) là biến cố “Tổng các số ghi trên hai thẻ bằng 8”, \(B\) là biến cố “Tích các số ghi trên hai thẻ là số chẵn”. Tính \(P\left( {AB} \right)\).     

Gọi \(A\) là biến cố “Trong hai thẻ rút ra có ít nhất một thẻ đánh số 9”;

\(H\) là biến cố “Thẻ rút ra từ hòm thứ nhất không đánh số 9”;

\(K\) là biến cố “Thẻ rút ra từ hòm thứ hai không đánh số 9”.

Khi đó \(\overline A = HK\). Ta có \(P\left( H \right) = \frac{{12}}{{13}};P\left( K \right) = \frac{{12}}{{13}}\).

Vì \(H\)và \(K\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {\overline A } \right) = P\left( {HK} \right) = P\left( H \right) \cdot P\left( K \right) = \frac{{144}}{{169}}\).

Do đó \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{144}}{{169}} = \frac{{25}}{{169}}\).

Gọi \(A\) là biến cố “Rút được thẻ ghi số chia hết cho 6”; \(B\) là biến cố “Rút được thẻ ghi số chia hết cho 5”.

Từ 1 đến 25 có 4 số chia hết cho 6. Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{4}{{25}} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{21}}{{25}}\).

Từ 1 đến 25 có 5 số chia hết cho 5. Suy ra \(P\left( B \right) = \frac{5}{{25}} = \frac{1}{5} \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{4}{5}\).

Giả sử Bình thắng ở lần rút thứ n.

Vì các lần rút là độc lập với nhau nên xác suất để Bình thắng ở lần rút thứ n là

\({P_n} = {\left( {\frac{{21}}{{25}}} \right)^n} \cdot {\left( {\frac{4}{5}} \right)^{n - 1}} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n}\).

Do đó xác suất để Bình thắng là:

\(P = \frac{1}{4} \cdot \frac{{84}}{{125}} + \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^2} + ... + \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n} + ...\)\( = \frac{1}{4}\left[ {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right) + {{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)}^n} + ...} \right]\).

Vì \(\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right),{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^2},...,{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n},...\) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \(\frac{{84}}{{125}}\) công bội là \(\frac{{84}}{{125}}\) nên \(P = \frac{1}{4} \cdot \frac{{\frac{{84}}{{125}}}}{{1 - \frac{{84}}{{125}}}} = \frac{{21}}{{41}}\).

Suy ra \(a = 21;b = 41 \Rightarrow a + b = 62\).

Trả lời: 62.