Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình vuông cạnh bằng 3, tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\). Tính khoảng cách từ điểm \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\) mà \(AC \bot BD\) nên \(BD \bot \left( {SOA} \right) \Rightarrow BD \bot SO\).

Lại có \(CO \bot BD\).

Do đó một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[ {S,BD,C} \right]\) là \(\widehat {SOC}\). Chọn C.

a) Vì \(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot AB\) mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì \(\Delta SAB\) đều cạnh \(a\) nên \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\); \({S_{ABCD}} = AB \cdot BC \cdot \sin \widehat {ABC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{4}\).

b) Dễ thấy \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AC = BC = a\). Suy ra các tam giác \(SAC\) và \(SBC\) lần lượt cân tại \(A\) và \(B\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(SC\). Suy ra \(AI \bot SC\) và \(BI \bot SC\).

Do đó \(\widehat {AIB}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,SC,B} \right]\).

Ta có \(S{C^2} = S{H^2} + C{H^2} = \frac{{3{a^2}}}{2} \Rightarrow S{I^2} = I{C^2} = \frac{{3{a^2}}}{8}\).

\(I{A^2} = S{A^2} - S{I^2} = \frac{{5{a^2}}}{8}\).

Tương tự \(I{B^2} = \frac{{5{a^2}}}{8}\).

Khi đó \(\cos \alpha = \cos \widehat {AIB} = \frac{{I{A^2} + I{B^2} - A{B^2}}}{{2IA \cdot IB}} = \frac{1}{5}\).

c) Ta có \(\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow AN \bot CD \Rightarrow AN \bot AB \Rightarrow AN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SAN} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow BM \bot SA \Rightarrow BM \bot \left( {SAN} \right)\).

Dựng \(MK \bot SN\) tại \(K\)\( \Rightarrow MK\) là đoạn vuông góc chung của \(BM\) và \(SN\).

Khi đó \(d\left( {BM,SN} \right) = MK\).

Ta có \(MK = MS \cdot \sin \widehat {MSK} = MS \cdot \frac{{AN}}{{SN}} = MS \cdot \frac{{AN}}{{\sqrt {S{A^2} + A{N^2}} }} = \frac{a}{2} \cdot \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).

Vậy \(d\left( {BM,SN} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).