Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) cách điểm \(A\) một khoảng bằng \(2a\) và tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) góc \(30^\circ \). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\).

a) Vì \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot AM\).

Vì \(\Delta ABC\) đều, \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AM \bot BC\).

Suy ra \(AM\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AA'\) và \(BC\).

b) Hạ \(AH \bot A'M\) (1).

Vì \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot BC\) mà \(AM \bot BC\) nên \(AM\)\(BC \bot \left( {AMA'} \right) \Rightarrow BC \bot AH\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(AH \bot \left( {A'BC} \right)\).

Khi đó \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH\).

Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta AMA'\) vuông tại \(A,\)có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{5}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

c) \(d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = AA' = a\sqrt 3 \).

d) \(d\left( {AA',BC} \right) = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;    c) Sai;     d) Sai.

a) Vì \(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot AB\) mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì \(\Delta SAB\) đều cạnh \(a\) nên \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\); \({S_{ABCD}} = AB \cdot BC \cdot \sin \widehat {ABC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{4}\).

b) Dễ thấy \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AC = BC = a\). Suy ra các tam giác \(SAC\) và \(SBC\) lần lượt cân tại \(A\) và \(B\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(SC\). Suy ra \(AI \bot SC\) và \(BI \bot SC\).

Do đó \(\widehat {AIB}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,SC,B} \right]\).

Ta có \(S{C^2} = S{H^2} + C{H^2} = \frac{{3{a^2}}}{2} \Rightarrow S{I^2} = I{C^2} = \frac{{3{a^2}}}{8}\).

\(I{A^2} = S{A^2} - S{I^2} = \frac{{5{a^2}}}{8}\).

Tương tự \(I{B^2} = \frac{{5{a^2}}}{8}\).

Khi đó \(\cos \alpha = \cos \widehat {AIB} = \frac{{I{A^2} + I{B^2} - A{B^2}}}{{2IA \cdot IB}} = \frac{1}{5}\).

c) Ta có \(\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow AN \bot CD \Rightarrow AN \bot AB \Rightarrow AN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SAN} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow BM \bot SA \Rightarrow BM \bot \left( {SAN} \right)\).

Dựng \(MK \bot SN\) tại \(K\)\( \Rightarrow MK\) là đoạn vuông góc chung của \(BM\) và \(SN\).

Khi đó \(d\left( {BM,SN} \right) = MK\).

Ta có \(MK = MS \cdot \sin \widehat {MSK} = MS \cdot \frac{{AN}}{{SN}} = MS \cdot \frac{{AN}}{{\sqrt {S{A^2} + A{N^2}} }} = \frac{a}{2} \cdot \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).

Vậy \(d\left( {BM,SN} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).