Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(BB'\) vuông góc với đáy, \(BB' = 2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(A'M\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\). Tính \(\tan \varphi \) (làm tròn đến hàng phần trăm).

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(\left( {BA',CD} \right) = \left( {BA',BA} \right) = \widehat {A'BA} = 45^\circ \). Chọn A.

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow SO \bot CD\) (1).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\). Khi đó \(OI \bot CD\) (2) và \(OI = \frac{{AD}}{2} = \sqrt 3 \).

Từ (1) và (2), suy ra \(CD \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow CD \bot SI\).

Khi đó \(\left[ {A,CD,S} \right] = \widehat {SIO} = 60^\circ \).

Xét \(\Delta SOI\) vuông tại \(O\), có \(SO = OI \cdot \tan 60^\circ = \sqrt 3 \cdot \tan 60^\circ = 3\).

Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 12\).

Trả lời: 12.