(1,0 điểm) Một thiết bị tiệt khuẩn y tế bằng năng lượng mặt trời được mua với giá 60 triệu đồng, mỗi năm thiết bị tiệt khuẩn đó đều khấu hao \(k\) (triệu đồng) với \(0 < k < 60.\) Gọi \(y\) (triệu đồng) là giá của thiết bị tiệt khuẩn đó sau \(x\) năm sử dụng.

a) Chứng tỏ rằng \[y\] là hàm số bậc nhất của \[x,\] tức là \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right).\]

b) Trong hình vẽ bên, tia \[At\] là một phần của đường thẳng \[y = ax + b.\] Tìm \[a,{\rm{ }}b.\] Từ đó, cho biết sau 12 năm sử dụng thì giá của thiết bị tiệt khuẩn đó bằng bao nhiêu phần trăm so với giá mua ban đầu.

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(1 - {x^3} = \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)\)

\[\frac{{2x\, + \,\,1}}{{{x^{2\,}} + 2x\, + \,1}} = \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\]

Khi đó biểu thức \(P\) xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\1 - {x^3} \ne 0\\x + 1 \ne 0\\\frac{{2x\, + \,\,1}}{{{x^{2\,}} + 2x\, + \,1}} \ne 0\end{array} \right.\)nên \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\1 - x \ne 0\\1 + x + {x^2} \ne 0\\x \ne  - 1\\2x\, + \,\,1 \ne 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 1\\x \ne  - \frac{1}{2}.\end{array} \right.\)

Vậy với \(x \ne 1\,;\,\,x \ne  - 1\) và \(x \ne  - \frac{1}{2}\) thì biểu thức \(P\) xác định.

b) Với \(x \ne 1\,;\,\,x \ne  - 1\) và \(x \ne  - \frac{1}{2},\) ta có:

\[P = \,\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{1 - \,{x^3}}}.\frac{{{x^2} + \,x\, + \,1}}{{x\, + 1}}} \right)\,:\,\frac{{2x\, + \,\,1}}{{{x^{2\,}} + 2x\, + \,1}}\]

\[ = \,\left[ {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}.\frac{{{x^2} + \,x\, + \,1}}{{x\, + 1}}} \right]\,:\,\frac{{2x\, + \,\,1}}{{{{\left( {x\, + 1} \right)}^2}}}\]

\[ = \,\left[ {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {x\, + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{{\left( {x\, + 1} \right)}^2}}}{{2x\, + \,\,1}}\]

\[ = \,\left[ {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x\, + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{{\left( {x\, + 1} \right)}^2}}}{{2x\, + \,\,1}}\]

\[ = \,\frac{{\left( {x\, + 1} \right) + x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x\, + 1} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x\, + 1} \right)}^2}}}{{2x\, + \,\,1}}\]

\[ = \,\frac{{\left( {2x + 1} \right) \cdot {{\left( {x\, + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x\, + 1} \right) \cdot \left( {2x\, + \,\,1} \right)}}\]\[ = \,\frac{{x\, + 1}}{{x - 1}}.\]

Vậy với \(x \ne 1;x \ne  - 1\) và \(x \ne  - \frac{1}{2}\) thì \(P = \,\frac{{x\, + 1}}{{x - 1}}.\)

c) Thay \[x = \,\frac{1}{2}\] (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(P = \,\frac{{x\, + 1}}{{x - 1}},\) ta được: \(P = \,\frac{{\frac{1}{2}\, + 1}}{{\frac{1}{2} - 1}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 3.\)

Vậy \(P = 3\) khi \[x = \,\frac{1}{2}.\]

Hướng dẫn giải