Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua hai điểm \(M\left( {1;8;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)\) cắt các tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A,B\) sao cho \(OG\) nhỏ nhất, với \(G\left( {a;b;c} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Xác định tọa độ điểm G.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua hai điểm \(M\left( {1;8;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)\) cắt các tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A,B\) sao cho \(OG\) nhỏ nhất, với \(G\left( {a;b;c} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Xác định tọa độ điểm G.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Giả sử \(A\left( {m;0;0} \right),B\left( {0;n;0} \right)\) với \(m > 0,n > 0\).
Do đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{3} - 1 = 0\).
Theo giả thiết \(G\left( {a;b;c} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) \( \Rightarrow m = 3a,n = 3b,c = 1\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;8;0} \right)\) nên \(\frac{1}{m} + \frac{8}{n} - 1 = 0 \Rightarrow m = \frac{n}{{n - 8}}\) với \(n > 8\).
Vì \(OG\) nhỏ nhất nên \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} = \frac{{{{\left( {\frac{n}{{n - 8}}} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{n^2}}}{9} + 1\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Đặt \(f\left( n \right) = \frac{{{{\left( {\frac{n}{{n - 8}}} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{n^2}}}{9} + 1\). Suy ra \(f'\left( n \right) = \frac{1}{9}\left( {\frac{{ - 2n}}{{n - 8}}.\frac{8}{{{{\left( {n - 8} \right)}^2}}} + 2n} \right)\).
Có \(f'\left( n \right) = 0 \Leftrightarrow n = 10\)(thỏa mãn).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có minP khi \(n = 10\). Suy ra \(m = 5;a = \frac{5}{3},b = \frac{{10}}{3}\).
Vậy \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{{10}}{3};1} \right)\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) Hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).
Đúng
Sai
b) \(\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) + 1} \right)dx} = \frac{{14}}{3}\).
Đúng
Sai
c) \(\int\limits_{2024}^a {{f^2}\left( x \right)dx} = 0,a \ge 2024\). Khi đó \(2a - 1 = 4047\).
Đúng
Sai
d) Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = 2\) bằng 3.
Đúng
Sai
Lời giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Có \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)^\prime } = {x^2}\).
b)
c) \(\int\limits_{2024}^a {{f^2}\left( x \right)dx} = \int\limits_{2024}^a {{x^4}dx} = \left. {\frac{{{x^5}}}{5}} \right|_{2024}^a = \frac{{{a^5}}}{5} - \frac{{{{2024}^5}}}{5} = 0 \Rightarrow a = 2024\).
Do đó \(2a - 1 = 4047\).
d) Ta có \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^2 {{x^2}dx} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^2 = \frac{8}{3}\).
Lời giải
Trả lời: 0,75
Ta có \(F\left( x \right) = \int {\sin 2xdx} = - \frac{1}{2}\cos 2x + C\).
Vì \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1\) nên \( - \frac{1}{2}\cos \frac{\pi }{2} + C = 1 \Rightarrow C = 1\).
Do đó \(F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x + 1\).
Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2}\cos \frac{\pi }{3} + 1 = \frac{3}{4} = 0,75\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(F\left( 5 \right) - F\left( 1 \right)\).
B. \(F\left( 5 \right).F\left( 1 \right)\).
C. \(F\left( 5 \right) + F\left( 1 \right)\).
D. \(F\left( 1 \right) - F\left( 5 \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {2 - x} \right) - {x^3}} \right|dx} \).
B. \(S = \int\limits_0^1 {{x^3}dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 2} \right)dx} \).
C. \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - \left( {2 - x} \right)} \right|} dx\).
D. \(S = \frac{1}{2} + \int\limits_0^1 {{x^3}dx} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập