Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12B dự định dựng một cái lều trại có dạng hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang \(3\) mét, chiều dài \(6\) mét, đỉnh trại cách nền \(3\) mét. Tính thể tích phần không gian bên trong lều trại.

Xét hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ

Parabol \(\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + bx + c,\,\,a \ne 0\) có đỉnh \(C\left( {0;3} \right)\), đi qua hai điểm \(A\left( { - 3;0} \right)\) và \(B\left( {3;0} \right)\) nên có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0.a + 0.b + c = 3\\9a - 3b + c = 0\\9a + 3b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{3}\\b = 0\\c = 3\end{array} \right.\).

Suy ra \(\left( P \right):\,\,y = - \frac{1}{3}{x^2} + 3\).

Diện tích mặt trước của lều trại là

\(S = \int\limits_{ - 3}^3 {\left( {3 - \frac{1}{3}{x^2}} \right){\rm{d}}x} = 12\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

+) Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ

Khi đó thể tích phần không gian bên trong lều trại là \(V = \int\limits_0^3 {12{\rm{d}}x} = 36\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).