Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), \(ABCD\) là hình thang vuông có đáy lớn \(AD\) gấp đôi đáy nhỏ \(BC\), đồng thời đường cao \(AB = BC = a\). Biết \(SA = a\sqrt 3 \), khi đó khoảng cách từ đỉnh \(B\) đến đường thẳng \(SC\) là.

Trả lời: \( \approx {54^^\circ }\)

Lời giải

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BO \bot SA}\\{BO \bot AC}\end{array} \Rightarrow BO \bot (SAC)} \right.\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SBA) \cap (SAC) = SA}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} \,(SAC),OI \bot SA \Rightarrow [B,SA,C] = [B,SA,O] = \widehat {BIO}}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} \,(SBA),BI \bot SA}\end{array}} \right.\)

Ta có:

Xét \(\Delta BOI\) vuông tại \(O:\tan \widehat {BIO} = \frac{{BO}}{{IO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\frac{{3\sqrt {34} }}{{17}}a}} = \frac{{\sqrt {17} }}{3} \Rightarrow \widehat {BIO} \approx {54^^\circ }\)

Trả lời: \(d(S,DM) = \frac{{\sqrt {190} }}{5}a\)

Lời giải

Kẻ \(SK \bot DM\) tại \(K \Rightarrow d(S,DM) = SK\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{DM \bot SA}\\{DM \bot SK}\end{array} \Rightarrow DM \bot (SAK) \Rightarrow DM \bot AK} \right.\)

Ta có:

\( \Rightarrow \frac{{KA}}{{OD}} = \frac{{AM}}{{DM}} \Rightarrow KA = \frac{{AM \cdot OD}}{{DM}} = \frac{{\frac{3}{4}a\sqrt 2  \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{5}a\)

Ta có: \(SK = \sqrt {S{A^2} + A{K^2}}  = \sqrt {{{(2a)}^2} + {{\left( {\frac{{3\sqrt {10} }}{5}a} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {190} }}{5}a\)

Vậy \(d(S,DM) = \frac{{\sqrt {190} }}{5}a\).