Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt đáy và \(SA = AB = \sqrt 3 \). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác SAB. Khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng \((SBC)\) bằng:

 

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Gọi \(M\) là trung điểm của SB. Chứng minh \(GM \bot (SBC)\).

Khi đó, \(d(G;(SBC)) = GM\).

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Lời giải

Gọi \(M\) là trung điểm của \(SB \Rightarrow AM \bot SB\) (vì \(\Delta SAB\) cân)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AM} \right.\)

Và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AM \bot SB}\\{AM \bot BC}\end{array} \Rightarrow AM \bot (SBC) \Rightarrow GM \bot (SBC)} \right.\) tại \(M\).

Do đó \(d(G;(SBC)) = GM\).

Ta có: \(SM = \sqrt {A{B^2} + S{A^2}} = \sqrt 6 \Rightarrow AM = \frac{{SB}}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta SAB\) nên \(GM = \frac{1}{3}AM = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).