PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 16. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \[f\left( x \right) = {\log _{2024}}(x - 1)\].              

Đáp án:

a) \(\left( {SBC} \right)\).

b) \(45^\circ \).

a. Trong các mặt bên của hình chóp \(S.ABC\), mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\) là \(\left( {SBC} \right)\)

Ta có:

\(BC \bot AM\) (\(\Delta ABC\) đều)

\(BC \bot SA\) \(\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\)

Suy ra \(BC \bot \left( {SAM} \right)\)

Mà \(BC \subset \left( {SBC} \right)\)

Vậy \(\left( {SAM} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).

b. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(45^\circ \).

Ta có

\(AM \bot BC\)

\(SM \bot BC\) \(\left( {BC \bot \left( {SAM} \right)} \right)\)

Suy ra \(\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SM,AM} \right) = \widehat {SMA}\)

Xét tam giác \(SAM\) vuông tại \[A\], ta có:

\(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 3 }} = 1\)

Vậy \(\widehat {SMA} = 45^\circ \).

Đáp án: \[45\] độ.

Gọi \[D\] là trung điểm của \(AN\).

+) Xét \[\Delta ABN\] có: \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[D\] là trung điểm của \[AN\].

\[ \Rightarrow MD\] là đường trung bình của \[\Delta ABN\]\[ \Rightarrow MD//BN\].

\[ \Rightarrow \] Góc giữa \[SM\] và \[BN\] bằng góc giữa \[SM\] và \[MD\].

+) Xét \[\Delta ABC\] đều có cạnh là \[a = 4\sqrt 2 \,cm\], \[BN\] vừa là trung tuyến vừa là đường cao.

\[ \Rightarrow BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{4\sqrt 2 .\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 6 \,\,cm\].

Mà \[MD = \frac{1}{2}BN\] (tính chất đường trung bình) \[ \Rightarrow MD = \frac{1}{2}.2\sqrt 6  = \sqrt 6 \,\,cm\].

+) Ta có: \[SB \bot \left( {ABC} \right)\]\[ \Rightarrow SB \bot BM\]\[ \Rightarrow \Delta SBM\] là tam giác vuông tại \[B\]

\[ \Rightarrow SM = \sqrt {S{B^2} + B{M^2}}  = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\frac{{4\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = 2\sqrt 3 \,\,cm\].

+) \[\Delta BND\] vuông tại \[N\]\[ \Rightarrow BD = \sqrt {B{N^2} + N{D^2}}  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 6 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}  = \sqrt {26} \,\,cm\].

+) \[\Delta SBD\] vuông tại \[B\]\[ \Rightarrow SD = \sqrt {S{B^2} + B{N^2}}  = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt {26} } \right)}^2}}  = \sqrt {30} \,\,cm\].

+) \[\cos \widehat {SMD} = \frac{{S{M^2} + M{D^2} - S{D^2}}}{{2.SM.MD}} = \frac{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {30} } \right)}^2}}}{{2.2\sqrt 3 .\sqrt 6 }} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

\[ \Rightarrow \widehat {SMD} = {\cos ^{ - 1}}\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 135^\circ \].

\[ \Rightarrow \] Góc giữa đường thẳng \[SM\] và \[BN\] bằng \[180^\circ  - 135^\circ  = 45^\circ \].