Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, cạnh \(AB = 1\), \[AD = 2\]. Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SD\), \(AH = 1\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AH\) và \(SC\).

Dựng \(SM\,//\,AH,\,\,M \in AD,\,\,N = CM \cap AB.\)

Ta có:\(HD = \sqrt 3  \Rightarrow SD = \frac{{A{D^2}}}{{HD}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow SH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)

Suy ra:\(AM = \frac{1}{3}AD = \frac{2}{3}\,\,;\,\,\,AN = \frac{1}{4}AB = \frac{1}{4}.\)

Ta có:\(d\left( {AH,SC} \right) = d\left( {AH,\left( {SMC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right).\)

Vì \[ASMN\] là tam diện vuông tại \(A\) nên

\[\frac{1}{{{d^2}\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right)}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} \Rightarrow d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = \frac{{\sqrt {19} }}{{19}}.\]

Vậy \(d\left( {AH,SC} \right) = \frac{{\sqrt {19} }}{{19}} \approx 0,23\)