Cho bất phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\). Miền nghiệm có chứa bao nhiêu điểm \(\left( {x;y} \right)\) với \(x,y\) là các số nguyên dương?

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác \(ABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) như hình vẽ với \(A\left( { - 5; - 1} \right),B\left( { - 1; - 2} \right),C\left( {5;4} \right)\).

Biểu thức \(T = 3x - 2y - 4\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong ba điểm \(A\left( { - 5; - 1} \right),B\left( { - 1; - 2} \right),C\left( {5;4} \right)\).

Ta có \(T\left( { - 5, - 1} \right) = 3 \cdot \left( { - 5} \right) - 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 4 = - 17\); \(T\left( { - 1, - 2} \right) = 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot \left( { - 2} \right) - 4 = - 3\);

\(T\left( {5,4} \right) = 3 \cdot 5 - 2 \cdot 4 - 4 = 3\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là \( - 17\) khi \(x = - 5;y = - 1\).

Suy ra \(x_0^2 + y_0^2 = 26\).

a) Hệ bất phương trình trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay cặp số \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 \cdot 1 + 3 \le 2\\ - 1 + 2 \cdot 3 \ge 4\\1 + 3 \le 5\end{array} \right.\) (đúng).

Vậy cặp số \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

c) Miền nghiệm D của hệ là miền tam giác \(ABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {1;4} \right)\)

d) Biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = - x + y\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong 3 điểm \(A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {1;4} \right)\).

Khi đó \(F\left( {0,2} \right) = 0 + 2 = 2\); \(F\left( {2,3} \right) = - 2 + 3 = 1\); \(F\left( {1,4} \right) = - 1 + 4 = 3\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = - x + y\) trên miền D xác định bởi hệ trên bằng 1.

Đáp án: a) Đúng;     b) Đúng;    c) Sai;    d) Đúng.