Cho biểu thức \(T = 3x - 2y - 4\) với \(x\) và \(y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 \le 0\\x + 4y + 9 \ge 0\\x - 2y + 3 \ge 0\end{array} \right.\). Biết \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = {x_0}\) và \(y = {y_0}\). Tính \(x_0^2 + y_0^2\).

a) Hệ bất phương trình trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay cặp số \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 \cdot 1 + 3 \le 2\\ - 1 + 2 \cdot 3 \ge 4\\1 + 3 \le 5\end{array} \right.\) (đúng).

Vậy cặp số \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

c) Miền nghiệm D của hệ là miền tam giác \(ABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {1;4} \right)\)

d) Biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = - x + y\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong 3 điểm \(A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {1;4} \right)\).

Khi đó \(F\left( {0,2} \right) = 0 + 2 = 2\); \(F\left( {2,3} \right) = - 2 + 3 = 1\); \(F\left( {1,4} \right) = - 1 + 4 = 3\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = - x + y\) trên miền D xác định bởi hệ trên bằng 1.

Đáp án: a) Đúng;     b) Đúng;    c) Sai;    d) Đúng.

a) Hệ trên là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay điểm \(\left( {0;0} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 6 \le 0\\0 \ge 0\\2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 1 \le 0\end{array} \right.\) (đúng).

Vậy \(\left( {0;0} \right)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.

c) Thay điểm \(\left( {1; - 1} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 6 \le 0\\1 \ge 0\\2 \cdot 1 - 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 1 \le 0\end{array} \right.\) (vô lí).

Vậy \(\left( {1; - 1} \right)\)không là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.

d) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác \(ABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(A\left( {0;2} \right),B\left( {\frac{7}{4};\frac{5}{6}} \right),C\left( {0; - \frac{1}{3}} \right)\).

Biểu thức \(L = y - x\) đạt giá trị lớn nhất, đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong ba điểm \(A\left( {0;2} \right),B\left( {\frac{7}{4};\frac{5}{6}} \right),C\left( {0; - \frac{1}{3}} \right)\).

Ta có \(L\left( {0,2} \right) = 2 - 0 = 2\); \(L\left( {\frac{7}{4},\frac{5}{6}} \right) = \frac{5}{6} - \frac{7}{4} = - \frac{{11}}{{12}}\); \(L\left( {0, - \frac{1}{3}} \right) = - \frac{1}{3} - 0 = - \frac{1}{3}\).

Vậy \(a = 2;b = - \frac{{11}}{{12}}\). Suy ra \(a + b = \frac{{13}}{{12}}\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Đúng;    c) Sai;    d) Sai.