Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y \le 2\\ - x + 2y \ge 4\\x + y \le 5\end{array} \right.\) có miền nghiệm là miền D.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác \(ABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) như hình vẽ với \(A\left( { - 5; - 1} \right),B\left( { - 1; - 2} \right),C\left( {5;4} \right)\).

Biểu thức \(T = 3x - 2y - 4\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong ba điểm \(A\left( { - 5; - 1} \right),B\left( { - 1; - 2} \right),C\left( {5;4} \right)\).

Ta có \(T\left( { - 5, - 1} \right) = 3 \cdot \left( { - 5} \right) - 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 4 = - 17\); \(T\left( { - 1, - 2} \right) = 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot \left( { - 2} \right) - 4 = - 3\);

\(T\left( {5,4} \right) = 3 \cdot 5 - 2 \cdot 4 - 4 = 3\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là \( - 17\) khi \(x = - 5;y = - 1\).

Suy ra \(x_0^2 + y_0^2 = 26\).

a) Hệ trên là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay điểm \(\left( {0;0} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 6 \le 0\\0 \ge 0\\2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 1 \le 0\end{array} \right.\) (đúng).

Vậy \(\left( {0;0} \right)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.

c) Thay điểm \(\left( {1; - 1} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 6 \le 0\\1 \ge 0\\2 \cdot 1 - 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 1 \le 0\end{array} \right.\) (vô lí).

Vậy \(\left( {1; - 1} \right)\)không là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.

d) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác \(ABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(A\left( {0;2} \right),B\left( {\frac{7}{4};\frac{5}{6}} \right),C\left( {0; - \frac{1}{3}} \right)\).

Biểu thức \(L = y - x\) đạt giá trị lớn nhất, đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong ba điểm \(A\left( {0;2} \right),B\left( {\frac{7}{4};\frac{5}{6}} \right),C\left( {0; - \frac{1}{3}} \right)\).

Ta có \(L\left( {0,2} \right) = 2 - 0 = 2\); \(L\left( {\frac{7}{4},\frac{5}{6}} \right) = \frac{5}{6} - \frac{7}{4} = - \frac{{11}}{{12}}\); \(L\left( {0, - \frac{1}{3}} \right) = - \frac{1}{3} - 0 = - \frac{1}{3}\).

Vậy \(a = 2;b = - \frac{{11}}{{12}}\). Suy ra \(a + b = \frac{{13}}{{12}}\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Đúng;    c) Sai;    d) Sai.