Trong không gian với hệ trục \[Oxyz\], cho điểm \(A\left( {1; - 2;0} \right)\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z = 0\);\(\left( Q \right):2x - z + 1 = 0\). Đường thẳng đi qua \(A\) song song với \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\) có phương trình là    

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \({M_1}\left( {1;\, - 1;\,1} \right),\)có 1 vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \({M_2}\left( { - 1;\,0;\,1} \right),\)có 1 vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;\,2;\,1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \({d_1}\) và song song với đường thẳng \({d_2}\) suy ra \(\left( P \right)\)đi qua điểm\({M_1}\left( {1;\, - 1;\,1} \right),\)có 1 vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {4;\,0;\,4} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(4\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y + 1} \right) + 4\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + z - 2 = 0\).

Dễ thấy điểm \(Q\left( {0;\,1;\,2} \right) \in \left( P \right).\)

Trả lời: 240

Cốc hình trụ có bán kính R = 6 cm, chiều cao h = 10 cm.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm \(x\left( { - 6 \le x \le 6} \right)\) cắt vật thể theo theo thiết diện có diện tích là \(S\left( x \right)\).

Ta có \(S\left( x \right) = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}B{C^2}\tan \alpha = \frac{1}{2}\left( {{R^2} - {x^2}} \right)\frac{h}{R} = \frac{{5\left( {36 - {x^2}} \right)}}{6}\).

Vậy thể tích lượng nước trong cốc là \(V = \int\limits_{ - 6}^6 {S\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 6}^6 {\frac{{5\left( {36 - {x^2}} \right)}}{6}dx} = 240\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).