Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{z}} - 3 = 0\) và điểm \(A\left( {2\,;2\,;2} \right)\). Từ \(A\) kẻ được các tiếp tuyến đến mặt cầu \(\left( S \right)\). Biết các tiếp điểm luôn thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)có phương trình \(ax + by + c{\rm{z}} - 5 = 0\). Tính \(a + b + c\).

Trả lời: 5

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0\,;0\,;1} \right)\), bán kính \(R = 2\).

Có \(\overrightarrow {IA} = \left( {2\,;2\,;1} \right)\)\( \Rightarrow IA = 3\). Kẻ một tiếp tuyến \(AB\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\), với \(B\) là tiếp điểm.

Ta có tam giác \(ABI\) vuông tại \(B\) nên ta có \(AB = \sqrt {I{A^2} - I{B^2}} = \sqrt 5 \).

Gọi \(H\left( {x\,;y\,;z} \right)\) là chân đường cao kẻ từ \(B\) của tam giác \(ABI\).

Ta có: \(I{B^2} = IH.IA \Rightarrow IH = \frac{{I{B^2}}}{{IA}} = \frac{4}{3} \Rightarrow IH = \frac{4}{9}.IA\).

Từ suy ra được \(\overrightarrow {IH} = \frac{4}{9}\overrightarrow {IA} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 0 = \frac{4}{9}.2\\y - 0 = \frac{4}{9}.2\\z - 1 = \frac{4}{9}.1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{9}\\y = \frac{8}{9}\\z = \frac{{13}}{9}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{8}{9}\,;\frac{8}{9}\,;\frac{{13}}{9}} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với đường thẳng \(IA\) nên nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {2\,;2\,;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Hơn nữa mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(H\).

Vậy \(\left( \alpha \right)\) có phương trình: \(2.\left( {x - \frac{8}{9}} \right) + 2.\left( {y - \frac{8}{9}} \right) + 1.\left( {z - \frac{{13}}{9}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 5 = 0\).

Suy ra \(a + b + c = 5\).