Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0; - 1;1} \right)\) và hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 1;0;2} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {2;1;0} \right)\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) nhận \(\overrightarrow u \) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

\( - x + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + 2z - 2 = 0\).

b) Ta có \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 2;4; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 2;4; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\( - 2x + 4\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 2x + 4y - z + 5 = 0\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;2;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;1;0} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;1; - 5} \right)\).

Mặt phẳng đi qua ba điểm \(C\left( {1;0;1} \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;1; - 5} \right)\) có phương trình là

\( - \left( {x - 1} \right) + y - 5\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - x + y - 5z + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow x - y + 5z - 6 = 0\).

d) Ta có \(P\left( { - 2;0;0} \right)\), \(N\left( {0;0;5} \right)\), \(A\left( {0; - 1;1} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AP} = \left( { - 2;1; - 1} \right),\overrightarrow {AN} = \left( {0;1;4} \right),\left[ {\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {AQ} } \right] = \left( {5;8; - 2} \right)\).

Mặt phẳng đi qua \(P\left( { - 2;0;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {5;8; - 2} \right)\) có phương trình là:

\(5\left( {x + 2} \right) + 8y - 2z = 0\)\( \Leftrightarrow 5x + 8y - 2z + 10 = 0\).