Biết một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) là \(F\left( x \right) = \frac{x}{2} - \frac{{\sin 2x}}{4}\). Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sin x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = \pi \) khi quay quanh trục \(Ox\) là    

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\int\limits_1^3 {2f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2.3 = 6\).

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 1;1} \right)\), bán kính \(R = 3\).

b) Ta có \(IM = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {33} > R\). Do đó điểm \(M\left( {1;3;5} \right)\) nằm ngoài mặt cầu.

c) Ta có \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 2.\left( { - 1} \right) - 2.1 + 8} \right|}}{3} = 2\).

Suy ra bán kính đường tròn giao tuyến là \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)} = \sqrt {9 - 4} = \sqrt 5 \).

d)

Hạ \(IH \bot AB\). Vì \(H \in \Delta \) nên \(H\left( {1 + t;t;3 - t} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {IH} = \left( {t - 1;t + 1;2 - t} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {IH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\) nên \(t - 1 + t + 1 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {IH} } \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{2}{3} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3} + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - \frac{2}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{14}}{3}} \).

Ta có \(AB = 2HB = 2\sqrt {{R^2} - I{H^2}} = 2\sqrt {9 - \frac{{14}}{3}} = 2\sqrt {\frac{{13}}{3}} \).

Khi đó \({S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IH.AB = \frac{1}{2}.\sqrt {\frac{{14}}{3}} .2\sqrt {\frac{{13}}{3}} = \frac{{\sqrt {182} }}{3}\).