Trong các nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn bất phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{x^2} + 2{y^2}}}\left( {2x + y} \right) \ge 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = 2x + y\) bằng

  

Đáp án

\(\frac{9}{2}\).

Giải thích

Trường hợp 1. \({x^2} + 2{y^2} > 1\), bất phương trình trở thành

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{x^2} + 2{y^2}}}\left( {2x + y} \right) \ge 1 \Leftrightarrow 2x + y \ge {x^2} + 2{y^2} \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {\left( {y\sqrt 2 - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} \le \frac{9}{8}\)

Khi đó \(T = 2\left( {x - 1} \right) + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {y\sqrt 2 - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + \frac{9}{4} \le \sqrt {\left( {4 + \frac{1}{2}} \right).\left[ {{{(x - 1)}^2} + {{\left( {y\sqrt 2 - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2}} \right]} + \frac{9}{4}\)

\( \Leftrightarrow T \le \sqrt {\frac{9}{2}.\frac{9}{8}} + \frac{9}{4} \Leftrightarrow T \le \frac{9}{2}\)

Vậy \({T_{{\rm{max\;}}}} = \frac{9}{2}\) khi \(x = 2;y = \frac{1}{2}\).

Trường hợp 2. \({x^2} + 2{y^2} < 1\), bất phương trình trở thành

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{x^2} + 2{y^2}}}\left( {2x + y} \right) \ge 1 \Leftrightarrow 2x + y \le {x^2} + 2{y^2} < 1 \Rightarrow T < 1 \Rightarrow \) trường hợp này không xảy ra.