Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \[\int\limits_0^3 {x.{f^\prime }(2x - 4)dx = 8} ;\,\,f(2) = 2\]. Tính \(I = \int\limits_{ - 2}^1 {f(2x)dx} \).

Đáp án

\(I = - 10\).

Giải thích

Cách 1. Xét \(\int\limits_0^3 {x.{f^\prime }(2x - 4)dx = 8} \,\,\,(*)\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = x}\\{dv = {f^\prime }(2x - 4)dx}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{du = dx}\\{v = \frac{1}{2}f(2x - 4)}\end{array}} \right.} \right.\)

\(\left. {(*) \Leftrightarrow \frac{1}{2}xf(2x - 4)} \right|_0^3 - \frac{1}{2}\int\limits_0^3 {f(2x - 4)dx} = 8\)

\( \Leftrightarrow \frac{3}{2}f(2) - \frac{1}{2}\int\limits_0^3 {f(2x - 4)dx} = 8 \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {f(2x - 4)} dx = - 10.\)

Đặt \(2t = 2x - 4 \Rightarrow dt = dx\)

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = - 2;x = 3 \Rightarrow t = 1\)

Suy ra \(\int\limits_{ - 2}^1 {f(2t)dt = - 10} \).

Cách 2. Đặt \(f(x) = ax + b \Rightarrow {f^\prime }(x) = a\).

Ta có: \(\int\limits_0^3 {x.{f^\prime }(2x - 4)dx = 8} \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {axdx} = 8 \Rightarrow a = \frac{8}{{\int\limits_0^3 {xdx} }} = \frac{{16}}{9}\).

Mặt khác \(f(2) = 2 \Leftrightarrow 2a + b = 2 \Rightarrow b = - \frac{{14}}{9}\).

\( \Rightarrow f(x) = \frac{{16}}{9}x - \frac{{14}}{9} \Rightarrow I = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {\frac{{16}}{9}.2x - \frac{{14}}{9}} \right)} dx = - 10\)