Cho phương trình \(\frac{{m{\rm{sin}}x - 2}}{{m - 2{\rm{cos}}x}} = \frac{{m{\rm{cos}}x - 2}}{{m - 2{\rm{sin}}x}}\,\,\left( {\rm{*}} \right)\). Tất cả giá trị m để phương trình (*) luôn có 2 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là

Đáp án

\(m \ne \pm \sqrt 2 \)

Giải thích

Điều kiện \(m - 2{\rm{cos}}x \ne 0;m - 2{\rm{sin}}x \ne 0\), khi đó

\(PT \Leftrightarrow \left( {m{\rm{sin}}x - 2} \right)\left( {m - 2{\rm{sin}}x} \right) = \left( {m - 2{\rm{cos}}x} \right)\left( {m{\rm{cos}}x - 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow {m^2}{\rm{sinx}} - 2m{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 2m + 4{\rm{sin}}x = {m^2}{\rm{cos}}x - 2m{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + 4{\rm{cos}}x - 2m\)

\( \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 4} \right)\left( {{\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x} \right) = 2m\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 4} \right)\left( {{\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x} \right) = 2m\left( {{\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x} \right)\left( {{\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{sin}}x = {\rm{cos}}x\,\,(1)\\{m^2} + 4 = 2m\left( {{\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x} \right) = 2m\sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\,\,(2)\end{array} \right.\)

+) Với \(m = 0\) thì (2) vô nghiệm nên từ (1) chỉ có 2 điểm biểu diễn trên đường tròn

+) Với \(m \ne 0 \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + 4}}{{2\sqrt 2 m}} = {\rm{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Ta có \({m^2} + 4 \ge 2\sqrt {{m^2}.4} = 4\left| m \right| \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{m^2} + 4}}{{2\sqrt 2 m}} \ge \sqrt 2 }\\{\frac{{{m^2} + 4}}{{2\sqrt 2 m}} \le - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

Nên phương trình (2) vô nghiệm với mọi m

Vậy để phương trình có 2 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác thì (1) luôn có 2 nghiệm thuộc tập xác định

Có nghiệm của (1) là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)

\( \Rightarrow m - 2{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - \sqrt 2 \ne 0}\\{m + \sqrt 2 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow m \ne \pm \sqrt 2 } \right.\)