Tổng các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\) của phương trình \({\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}x = 1 + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right)\) là

  

Đáp án

 \(\frac{{3\pi }}{2}\)

Giải thích

\(PT \Leftrightarrow \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} - 1 + \frac{1}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} - 1 = 1 + \frac{1}{2}\left[ {1 + {\rm{cos}}\left( {6x + \frac{\pi }{2}} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} = 3 + \frac{1}{2}\left( {1 - {\rm{sin}}6x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{4}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}2x}} = \frac{1}{2}\left( {7 - {\rm{sin}}6x} \right) \Leftrightarrow \frac{8}{{1 - {\rm{cos}}4x}} = \frac{1}{2}\left( {7 - {\rm{sin}}6x} \right)\)

\( \Leftrightarrow 16 = 7 - 7{\rm{cos}}4x - {\rm{sin}}6x + {\rm{cos}}4x{\rm{sin}}6x\)

\( \Leftrightarrow 9 = - 7{\rm{cos}}4x - {\rm{sin}}6x + {\rm{cos}}4x{\rm{sin}}6x\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{cos}}4x = - 1}\\{{\rm{sin}}6x = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}}\\{x = - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi } \right.} \right.\)

Ta có:

\( \Rightarrow \) Tổng các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\) của phương trình bằng \(\frac{{3\pi }}{2}\)