Số nghiệm phương trình \(\sqrt {2x - \frac{3}{x}} + \sqrt {\frac{6}{x} - 2x} = 1 + \frac{3}{{2x}}\) là

 

Đáp án

1.

Giải thích

Điều kiện: \(x \ne 0;\,\,{\rm{\;}}2x - \frac{3}{x} \ge 0;\,\,\frac{6}{x} - 2x \ge 0\).

Cách 1. (Sử dụng bất đẳng thức Côsi)

Ta có \(\sqrt {2x - \frac{3}{x}} + \sqrt {\frac{6}{x} - 2x} = \sqrt {1.\left( {2x - \frac{3}{x}} \right)} + \sqrt {1.\left( {\frac{6}{x} - 2x} \right)} \) \( \le \frac{{1 + \left( {2x - \frac{3}{x}} \right)}}{2} + \frac{{1 + \left( {\frac{6}{x} - 2x} \right)}}{2} = 1 + \frac{3}{{2x}}\)

Do đó phương trình xảy ra khi \(2x - \frac{3}{x} = \frac{6}{x} - 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\) (thỏa mãn).

Cách 2. (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)

Ta có \({\left( {\sqrt {2x - \frac{3}{x}} + \sqrt {\frac{6}{x} - 2x} } \right)^2} = {\left( {1.\sqrt {2x - \frac{3}{x}} + 1.\sqrt {\frac{6}{x} - 2x} } \right)^2}\)\( \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {2x - \frac{3}{x} + \frac{6}{x} - 2x} \right) = \frac{6}{x}\)

Nên \(\sqrt {2x - \frac{3}{x}} + \sqrt {\frac{6}{x} - 2x} \le \sqrt {\frac{6}{x}} \)

Mà \(1 + \frac{3}{{2x}} \ge 2\sqrt {1\frac{3}{{2x}}} = \sqrt {\frac{6}{x}} \) nên dấu " \( = \) " xảy ra khi \(x = \frac{3}{2}\) (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}\).