a) Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {x\,,\,y} \right)\) thỏa mãn đẳng thức:

                       \({x^3} + {x^2}y - 2xy + 2x - 2{y^2} + 2y + 1 = 0\)

b) Cho 31 điểm bất kì nằm bên trong hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 12 . Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 nằm bên trong hình vuông ABCD và không chứa điểm nào trong 31 điểm đã cho.

a) Từ giả thiết ta có: \(a \ne 0\) và \(\frac{{a - 4b + 16c}}{a} \le 0 \Rightarrow a(a - 4b + 16c) \le 0 \Rightarrow {(a - 2b)^2} \le 4\left( {{b^2} - 4ac} \right) \Rightarrow \Delta  \ge 0\)

do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm \({x_1}\,,\,{x_2}\) mà \({x_1}\, + {x_2} =  - \frac{b}{a}\) và \({x_1}\,.{x_2} = \frac{c}{a}\). Đến đây thay vào giả thiết ta thu được: \( - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4{x_1}{x_2} \ge \frac{1}{4} \Rightarrow \left( {4{x_1} + 1} \right)\left( {4{x_2} + 1} \right) \le 0\). Nếu \({x_1}\,,\,{x_2}\) đều không âm thì dẫn đến điều vô lý. Do vậy phương trình phải có ít nhất một nghiệm âm.

b) Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta được:

\(\sqrt {1 + 8{a^3}}  = \sqrt {(1 + 2a)\left( {1 - 2a + 4{a^2}} \right)}  \le \frac{{1 + 2a + 1 - 2a + 4{a^2}}}{2} = 2{a^2} + 1.\)

Tương tự, ta có: \(\sqrt {1 + 8{b^3}}  \le 2{b^2} + 1;\sqrt {1 + 8{c^3}}  \le 2{c^2} + 1.\)

Do đó: \(P \ge \frac{{{a^2}}}{{\left( {2{a^2} + 1} \right)\left( {2{b^2} + 1} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{\left( {2{b^2} + 1} \right)\left( {2{c^2} + 1} \right)}} + \frac{{{c^2}}}{{\left( {2{c^2} + 1} \right)\left( {2{a^2} + 1} \right)}}\)

Tiếp theo ta chứng minh: \(\frac{{{a^2}}}{{\left( {2{a^2} + 1} \right)\left( {2{b^2} + 1} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{\left( {2{b^2} + 1} \right)\left( {2{c^2} + 1} \right)}} + \frac{{{c^2}}}{{\left( {2{c^2} + 1} \right)\left( {2{a^2} + 1} \right)}} \ge \frac{1}{3}(*)\)

Thật vậy: \((*) \Leftrightarrow 3\left( {2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) + {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge \left( {2{a^2} + 1} \right)\left( {2{b^2} + 1} \right)\left( {2{c^2} + 1} \right)\)

                         \( \Leftrightarrow 2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) + \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 9.\)

Điều này hiển nhiên đúng do \({a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} \ge 3\sqrt[4]{{{a^4}{b^4}{c^4}}} = 3\) và \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} = 3.\)

Vậy GTNN của \(P = \frac{1}{3}\) đạt tại \(a = b = c = 1\)

a) \(P = \left( {\frac{{\sqrt x (\sqrt x  - 3)}}{{(\sqrt x  + 1)(\sqrt x  - 3)}} - \frac{{2x}}{{x - 1}}} \right):\frac{{1 - \sqrt x }}{{{{(\sqrt x  - 1)}^2}}} = \frac{{\sqrt x (\sqrt x  - 1) - 2x}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 1)}}:\frac{{ - 1}}{{\sqrt x  - 1}}\)

    \( \Rightarrow P = \frac{{ - \sqrt x (\sqrt x  + 1)}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 1)}} \cdot ( - (\sqrt x  - 1)) = \sqrt x \)

b) Điều kiện: \(x \ge  - 2\). Phương trình \( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x + 4} \right) + (x + 2) - 2\sqrt {(x + 2)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}  = 0\)

     \( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  - \sqrt {x + 2} } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 4}  = \sqrt {x + 2} \)

    \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 - 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)   (thỏa mãn ĐK)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \[{\rm{S = \{ 1 ; 2\} }}\]

c) Điều kiện: \({x^2} - y - 1 \ge 0\). Xét hệ pt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y^2} - 2{x^2} - xy - y + 2x = 0\,\,\,(1)}\\{\sqrt {{x^2} - y - 1}  + x + y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}\end{array}} \right.\)

ta có: \((1) \Leftrightarrow (y - 2x)(y + x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 2x}\\{y = 1 - x}\end{array}} \right.\)

* Trường hợp 1: với \(y = 2x\) thay vào (2), thu được:

\(\sqrt {{x^2} - 2x - 1}  = 1 - 3x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le \frac{1}{3}}\\{{x^2} - 2x - 1 = 1 - 6x + 9{x^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le \frac{1}{3}}\\{8{x^2} - 4x + 2 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)    (vô nghiệm)

* Trường hợp 2: với \(y = 1 - x\) thay vào (2), thu được: \(\sqrt {{x^2} + x - 2}  = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x =  - 2}\end{array}} \right.\)

Vậy tập nghiệm của hệ pt đã cho là: \[{\rm{S}}\,{\rm{ = }}\left\{ {{\rm{(1 ; 0) ;( - 2 ; 3)}}} \right\}\]