Cho đường tròn (O) bán kính 1. Ba điểm phân biệt A, B, C thay đổi nằm trên đường tròn (O) sao cho điểm O nằm bên trong tam giác ABC . Các đường thẳng OA, OB, OC lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \[{\rm{OBC, OCA, OAB}}\] tại M, N, P khác O. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(S = O{M^2} + O{N^2} + O{P^2}\)

a) Tứ giác OGMB nội tiếp đường tròn đường kính MO \( \Rightarrow \widehat {OMG} = \widehat {OBG}.\)

    Tứ giác OGCN nội tiếp đường tròn đường kính NO \( \Rightarrow \widehat {ONG} = \widehat {OCG}\)

    Tuy nhiên tam giác OBC cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB} \Rightarrow \widehat {OMG} = \widehat {ONG} \Rightarrow \Delta OMN\)cân tại O.

b) ta có: $\angle AKG=\angle AIO={90}^{°}\Rightarrow \Delta AKG,\Delta AIO$ đồng dạng \( \Rightarrow AG.AI = AK.AO.\)

Mặt khác,  dễ thấy: \(AK\,.\,AO = A{B^2}\) và \(A{B^2} = AE \cdot AD \Rightarrow AG \cdot AI = AE \cdot AD\)

Khi đó: \(AG \cdot AI = (AI - IE)(AI + IE) = A{I^2} - I{E^2} \Rightarrow I{E^2} = A{I^2} - AG \cdot AI = IG \cdot IA\)

c) Gọi T là giao điểm của HG và CE . Ta có: \(\widehat {BED} = \widehat {BCD} = \widehat {CBA} = \widehat {ACB} \Rightarrow HEGC\) là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {HGC} = \widehat {HEC} = \widehat {CDB} = \widehat {CBA}.\)Đến đây ta chứng minh hai đường thẳng HG, AB song song với nhau .

Kéo dài CE cắt AB tại F.

Dễ thấy: \(\angle FAE = \angle EDC = \angle ECA \Rightarrow \Delta FAE,\Delta FCA\) đồng dạng \( \Rightarrow F{A^2} = FE\,.\,FC\), mà \(F{B^2} = FE\,.\,FC \Rightarrow F\)là trung điểm của AB. Đến đây sử dụng định lý Ta-lét , thì : \(\frac{{TG}}{{FB}} = \frac{{CT}}{{CF}} = \frac{{TH}}{{FA}} \Rightarrow TG = TH\) hay T là trung điểm của GH.

a) Ta có: \((x + y)\left( {{x^2} - 2y + 2} \right) =  - 1\). Do đó có hai khả năng xảy ra:

\({\rm{ TH1: }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 1}\\{{x^2} - 2y + 2 =  - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1 - x}\\{{x^2} + 2x + 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{y = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.{\rm{. }}\)

\({\rm{ TH2: }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y =  - 1}\\{{x^2} - 2y + 2 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y =  - 1 - x}\\{{x^2} + 2x + 3 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)   (vô nghiệm)

Vậy có duy nhất cặp số nguyên \(\left( {x\,,\,y} \right)\)thỏa mãn yêu cầu là: \[{\rm{( - 1 ; 2) }}{\rm{.}}\]

b) Ta chia hình vuông ABCD thành 36 hình vuông có độ dài cạnh bằng 2. Khi đó có ít nhất một hình vuông không chứa điểm nào trong 31 điểm đã cho . Hình tròn nội tiếp hình vuông đã cho là hình tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán.