Cho đường tròn \(\left( {O\,;\,R} \right)\)và điểm A sao cho \(OA\, > \,2R\). Từ A vẽ hai tiếp tuyến \(AB\,,\,\,\,AC\)của (O) (B, C là hai tiếp điểm). Vẽ dây cung CD của (O) song song với AB. Đường thẳng AD cắt (O) tại E khác A và cắt BC tại G. Qua G vẽ đường thẳng vuông góc với OG lần lượt cắt hai đường thẳng AB, AC tại M và N.

            a) Chứng minh tam giác \(OMN\) cân

            b) Gọi I là trung điểm của DE, OA cắt BC tại K. Chứng minh: \(I{E^2} = IA \cdot IG\)

            c) Tia BE cắt AC ở H . Chứng minh CE đi qua trung điểm của HG.

a) Ta có: \((x + y)\left( {{x^2} - 2y + 2} \right) =  - 1\). Do đó có hai khả năng xảy ra:

\({\rm{ TH1: }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 1}\\{{x^2} - 2y + 2 =  - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1 - x}\\{{x^2} + 2x + 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{y = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.{\rm{. }}\)

\({\rm{ TH2: }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y =  - 1}\\{{x^2} - 2y + 2 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y =  - 1 - x}\\{{x^2} + 2x + 3 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)   (vô nghiệm)

Vậy có duy nhất cặp số nguyên \(\left( {x\,,\,y} \right)\)thỏa mãn yêu cầu là: \[{\rm{( - 1 ; 2) }}{\rm{.}}\]

b) Ta chia hình vuông ABCD thành 36 hình vuông có độ dài cạnh bằng 2. Khi đó có ít nhất một hình vuông không chứa điểm nào trong 31 điểm đã cho . Hình tròn nội tiếp hình vuông đã cho là hình tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) \(P = \left( {\frac{{\sqrt x (\sqrt x  - 3)}}{{(\sqrt x  + 1)(\sqrt x  - 3)}} - \frac{{2x}}{{x - 1}}} \right):\frac{{1 - \sqrt x }}{{{{(\sqrt x  - 1)}^2}}} = \frac{{\sqrt x (\sqrt x  - 1) - 2x}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 1)}}:\frac{{ - 1}}{{\sqrt x  - 1}}\)

    \( \Rightarrow P = \frac{{ - \sqrt x (\sqrt x  + 1)}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 1)}} \cdot ( - (\sqrt x  - 1)) = \sqrt x \)

b) Điều kiện: \(x \ge  - 2\). Phương trình \( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x + 4} \right) + (x + 2) - 2\sqrt {(x + 2)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}  = 0\)

     \( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  - \sqrt {x + 2} } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 4}  = \sqrt {x + 2} \)

    \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 - 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)   (thỏa mãn ĐK)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \[{\rm{S = \{ 1 ; 2\} }}\]

c) Điều kiện: \({x^2} - y - 1 \ge 0\). Xét hệ pt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y^2} - 2{x^2} - xy - y + 2x = 0\,\,\,(1)}\\{\sqrt {{x^2} - y - 1}  + x + y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}\end{array}} \right.\)

ta có: \((1) \Leftrightarrow (y - 2x)(y + x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 2x}\\{y = 1 - x}\end{array}} \right.\)

* Trường hợp 1: với \(y = 2x\) thay vào (2), thu được:

\(\sqrt {{x^2} - 2x - 1}  = 1 - 3x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le \frac{1}{3}}\\{{x^2} - 2x - 1 = 1 - 6x + 9{x^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le \frac{1}{3}}\\{8{x^2} - 4x + 2 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)    (vô nghiệm)

* Trường hợp 2: với \(y = 1 - x\) thay vào (2), thu được: \(\sqrt {{x^2} + x - 2}  = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x =  - 2}\end{array}} \right.\)

Vậy tập nghiệm của hệ pt đã cho là: \[{\rm{S}}\,{\rm{ = }}\left\{ {{\rm{(1 ; 0) ;( - 2 ; 3)}}} \right\}\]