a) Cho \(a,\,b,\,c\) là các số thực thỏa mãn điều kiện: \(\frac{{b - 4c}}{a} \ge \frac{1}{4}\). Chứng minh rằng  phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có ít nhất một nghiệm âm

b) Với các số thực dương \(a,\,b,\,c\)thay đổi thoả mãn \(abc = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                      \(P = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {\left( {1 + 8{a^3}} \right)\left( {1 + 8{b^3}} \right)} }} + \frac{{{b^2}}}{{\sqrt {\left( {1 + 8{b^3}} \right)\left( {1 + 8{c^3}} \right)} }} + \frac{{{c^2}}}{{\sqrt {\left( {1 + 8{c^3}} \right)\left( {1 + 8{a^3}} \right)} }}\)

a) Từ giả thiết ta có: \(a \ne 0\) và \(\frac{{a - 4b + 16c}}{a} \le 0 \Rightarrow a(a - 4b + 16c) \le 0 \Rightarrow {(a - 2b)^2} \le 4\left( {{b^2} - 4ac} \right) \Rightarrow \Delta  \ge 0\)

do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm \({x_1}\,,\,{x_2}\) mà \({x_1}\, + {x_2} =  - \frac{b}{a}\) và \({x_1}\,.{x_2} = \frac{c}{a}\). Đến đây thay vào giả thiết ta thu được: \( - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4{x_1}{x_2} \ge \frac{1}{4} \Rightarrow \left( {4{x_1} + 1} \right)\left( {4{x_2} + 1} \right) \le 0\). Nếu \({x_1}\,,\,{x_2}\) đều không âm thì dẫn đến điều vô lý. Do vậy phương trình phải có ít nhất một nghiệm âm.

b) Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta được:

\(\sqrt {1 + 8{a^3}}  = \sqrt {(1 + 2a)\left( {1 - 2a + 4{a^2}} \right)}  \le \frac{{1 + 2a + 1 - 2a + 4{a^2}}}{2} = 2{a^2} + 1.\)

Tương tự, ta có: \(\sqrt {1 + 8{b^3}}  \le 2{b^2} + 1;\sqrt {1 + 8{c^3}}  \le 2{c^2} + 1.\)

Do đó: \(P \ge \frac{{{a^2}}}{{\left( {2{a^2} + 1} \right)\left( {2{b^2} + 1} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{\left( {2{b^2} + 1} \right)\left( {2{c^2} + 1} \right)}} + \frac{{{c^2}}}{{\left( {2{c^2} + 1} \right)\left( {2{a^2} + 1} \right)}}\)

Tiếp theo ta chứng minh: \(\frac{{{a^2}}}{{\left( {2{a^2} + 1} \right)\left( {2{b^2} + 1} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{\left( {2{b^2} + 1} \right)\left( {2{c^2} + 1} \right)}} + \frac{{{c^2}}}{{\left( {2{c^2} + 1} \right)\left( {2{a^2} + 1} \right)}} \ge \frac{1}{3}(*)\)

Thật vậy: \((*) \Leftrightarrow 3\left( {2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) + {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge \left( {2{a^2} + 1} \right)\left( {2{b^2} + 1} \right)\left( {2{c^2} + 1} \right)\)

                         \( \Leftrightarrow 2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) + \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 9.\)

Điều này hiển nhiên đúng do \({a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} \ge 3\sqrt[4]{{{a^4}{b^4}{c^4}}} = 3\) và \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} = 3.\)

Vậy GTNN của \(P = \frac{1}{3}\) đạt tại \(a = b = c = 1\)