Giải phương trình: \(\sqrt {4x - 1}  - 2\sqrt {4x + 1}  + \sqrt {16{x^2} - 1}  = 2,(x \in \mathbb{R})\).

Theo đề \(x = 3\sqrt 3  - 2 \Leftrightarrow x + 2 = 3\sqrt 3  \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = 27 \Leftrightarrow {x^2} + 4x = 23\).

Ta có \({\left( {{x^3} + 4{x^2} - 23x + 1} \right)^{2024}} = {\left[ {x.\left( {{x^2} + 4x} \right) - 23x + 1} \right]^{2024}} = {\left( {23x - 23x + 1} \right)^{2024}} = 1\).

Vậy giá trị của biểu thức bằng \(1\) khi \(x = 3\sqrt 3  - 2\).

a) Ta có \(\Delta  = {a^2} - 8\). Phương trình có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} - 8 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge 2\sqrt 2 \\a \le  - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)

   Áp dụng định lí Vi-ét, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = a\\{x_1}.{x_2} = 2\end{array} \right.\)

   Theo đề \(P = x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}.\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {a^3} - 6a\)

   Vậy \(P = {a^3} - 6a\) (với \(a \le  - 2\sqrt 2 \) hoặc \(a \ge 2\sqrt 2 \) ).

b) Theo đề \(\alpha  = \sqrt[3]{{\frac{8}{3}}} + \sqrt[3]{3}{\rm{ }} \Leftrightarrow {\alpha ^3} = \frac{8}{3} + 3 + 3 \cdot \sqrt[3]{{\frac{8}{3}}} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \left( {\sqrt[3]{{\frac{8}{3}}} + \sqrt[3]{3}} \right){\rm{ }} \Leftrightarrow {\alpha ^3} = \frac{{17}}{3} + 6\alpha  \Leftrightarrow 3{\alpha ^3} - 18\alpha  - 17 = 0\)

Do đó \(\alpha \) là nghiệm của phương trình \(3{x^3} - 18x - 17 = 0\).