Một chiếc cổng có hình dạng là một parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 72 m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một quả cầu sắt. Vị trí chạm đất của quả cầu cách chân chổng A một đoạn khoảng 17 m. Hãy tính độ cao của cổng theo đơn vị mét (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng) (làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải

Tọa độ đỉnh của parabol là \(I\left( {2; - 1} \right)\).

Vì \(a = 1 > 0\) nên ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) là 8, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) là −1.

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) là 7. Chọn C.

Lời giải

a) Vì \(a = 1 > 0\) nên \(\left( P \right)\) có bề lõm quay lên.

b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {0; - 3} \right)\) vào \(\left( P \right)\) ta được \( - 3 = {0^2} + 4 \cdot 0 + 1\) (vô lí).

Vậy điểm \(A\left( {0; - 3} \right)\) không thuộc parabol \(\left( P \right)\).

c) Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) là nghiệm phương trình

\({x^2} + 4x + 1 = 2x + 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x =  - 2 \Rightarrow y =  - 3\end{array} \right.\)\(\).

Vậy \(M\left( {0;1} \right),N\left( { - 2; - 3} \right)\).

d)

\({S_{AMN}} = \frac{1}{2}NA \cdot MA = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Đúng;     d) Đúng.