Phương trình \(\frac{4}{x} + \sqrt {x - \frac{1}{x}} = x + \sqrt {2x - \frac{5}{x}} \) có bao nhiêu nghiệm âm?

  

Đáp án

0.

Giải thích

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 0}\\{x - \frac{1}{x} \ge 0}\\{2x - \frac{5}{x} \ge 0}\end{array}} \right.\)

Phương trình \( \Leftrightarrow x - \frac{4}{x} + \sqrt {2x - \frac{5}{x}} - \sqrt {x - \frac{1}{x}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x - \frac{5}{x}} \right) - \left( {x - \frac{1}{x}} \right) + \sqrt {2x - \frac{5}{x}} - \sqrt {x - \frac{1}{x}} = 0\)

Đặt \(a = \sqrt {2x - \frac{5}{x}} \ge 0,b = \sqrt {x - \frac{1}{x}} \ge 0\) ta được

\({a^2} - {b^2} + a - b = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow a = b \Rightarrow 2x - \frac{5}{x} = x - \frac{1}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = - 2\) (loại), \(x = 2\) (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ 2 \right\}\).