Cho số thực \[x\] thỏa mãn \[3 < x < 4\]. Rút gọn biểu thức
\[A = \sqrt {x - 2 + 2\sqrt {x - 3} } + \sqrt {x - 2 - 2\sqrt {x - 3} } \].
Cho số thực \[x\] thỏa mãn \[3 < x < 4\]. Rút gọn biểu thức
\[A = \sqrt {x - 2 + 2\sqrt {x - 3} } + \sqrt {x - 2 - 2\sqrt {x - 3} } \].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
Cách 1: Ta có \[A = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 3} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 3} - 1} \right)}^2}} \]. |
|
\[A = \left| {\sqrt {x - 3} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 3} - 1} \right|\]. |
|
Vì \[3 < x < 4\] nên \[0 < \sqrt {x - 3} < 1\], suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 3} + 1 > 0\\\sqrt {x - 3} - 1 < 0\end{array} \right.\]. |
|
Vậy \[A = \sqrt {x - 3} + 1 - \sqrt {x - 3} + 1 = 2\]. |
|
Cách 2: Ta có \[{A^2} = x - 2 + 2\sqrt {x - 3} + x - 2 - 2\sqrt {x - 3} + 2\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} - 4\left( {x - 3} \right)} \]. |
|
\[{A^2} = 2x - 4 + 2\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} = 2x - 4 + 2\left| {x - 4} \right|\]. |
|
Vì \[3 < x < 4\] nên \[{A^2} = 2x - 4 - 2\left( {x - 4} \right) = 4\]. |
|
Do \[A > 0\] nên \[A = 2\]. |
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
|
Vì \[H\] là trung điểm của \[OA\] nên \(AH = \frac{{OA}}{2} = \frac{R}{2} \cdot \) Ta có \[\widehat {ACB} = {90^0}\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có đường cao \(CH\): \(A{C^2} = AB.AH = 2R.\frac{R}{2} = {R^2} \Rightarrow AC = R\). |
|
\(B{C^2} = A{B^2} - A{C^2} = 4{R^2} - {R^2} = 3{R^2} \Rightarrow BC = R\sqrt 3 .\) |
|
\(CH.AB = AC.BC \Rightarrow CH = \frac{{AC.BC}}{{AB}} = \frac{{R.R\sqrt 3 }}{{2R}} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2} \cdot \) |
|
Cách 1: Tam giác \(ABD\) vuông tại \(D\) đường cao \(DH\) ta có \(A{D^2} = AH.AB.\) \[\Delta AIH\] và \[\Delta ABM\] có góc \[A\] chung và \[\widehat {AHI} = \widehat {AMB}\left( { = {{90}^0}} \right)\].
|
|
|
Do đó \(A{D^2} = AI.AM \Rightarrow \frac{{AD}}{{AM}} = \frac{{AI}}{{AD}} \cdot \) |
|
|
\[\Delta ADI\]
Suy ra \(\Delta ADI\) \(\Delta AMD\) (c.g.c). |
|
|
Vậy \(\widehat {ADI} = \widehat {AMD}\). Do đó \(AD\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta IDM\). |
|
|
Cách 2: \[OA\] là đường trung trực của \[CD\] nên \[AC = AD\]. |
|
|
Tam giác \[ACD\] cân tại \[A\] nên \[\widehat {ACD} = \widehat {ADI}\]. |
|
|
Mặt khác \[\widehat {ACD} = \widehat {AMD}\] (cùng chắn cung \[AD\]). |
|
|
Vậy \(\widehat {ADI} = \widehat {AMD}\). Do đó \(AD\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta IDM\). |
|
|
Tìm vị trí điểm \(M\) trên cung nhỏ \(BC\) sao cho \(MB + MC + MD\) đạt giá trị lớn nhất. |
|
 Ta có \(CD = 2.CH = 2.\frac{{R\sqrt 3 }}{2} = R\sqrt 3 \). |
|
|
Mặt khác \(\Delta BCD\) cân tại \(B\) nên \(BD = BC = R\sqrt 3 \). Vậy \(\Delta BCD\) là tam giác đều. Trên đoạn \[MD\] lấy điểm \[K\] sao cho \[MK = MB\]. \(\Delta MBK\) cân tại \(M\) có \(\widehat {BMK} = \widehat {BCD} = {60^0}\) nên là tam giác đều. |
|
|
Ta có \[\widehat {CBM} + \widehat {CBK} = {60^0},\,\,\widehat {DBK} + \widehat {CBK} = {60^0}\]. Dẫn đến \[\widehat {CBM} = \widehat {DBK}\]. Xét \(\Delta CBM\) và \[\Delta DBK\] có: \(CB = DB,\,\widehat {\,CBM} = \widehat {DBK},\,\,BM = BK\). Do đó \(\Delta CBM = \Delta DBK \Rightarrow MC = KD\). Vậy \(MD = MK + KD = MB + MC\). |
|
|
Ta có \(MB + MC + MD = 2MD \le 4R\). Vậy \(MB + MC + MD\) đạt giá trị lớn nhất khi \(MD\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\). Do đó \(M\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(BC\). |
Lời giải
Chia hình vuông đã cho thành 49 hình vuông nhỏ bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng \[\frac{1}{7}\].
Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một hình vuông nhỏ \[ABCD\] chứa ít nhất 3 điểm.
Gọi \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD\]. Bán kính đường tròn ngoại tiếp \[ABCD\] là \[r = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{7\sqrt 2 }}\].
Ta thấy \[\frac{1}{{7\sqrt 2 }} < \frac{1}{9}\]. Vậy 3 điểm đó nằm trong hình tròn tâm \[O\] bán kính \[R = \frac{1}{9}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập