1) Cho hai số dương \[x\] và \[y\] thỏa mãn \[x + y = 2\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[B = {x^2} + {y^2} + \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}}\].

2) Cho đa thức \(P\left( x \right)\) hệ số thực. Khi chia \(P\left( x \right)\) cho đa thức \(\left( {x - 5} \right)\) thì được dư là 7 và khi chia \(P\left( x \right)\) cho đa thức \(\left( {x + 1} \right)\) thì được dư là 1. Xét đa thức \(Q\left( x \right) = {x^2} - 4x - 5\). Tìm đa thức dư khi chia \(P\left( x \right)\) cho \(Q\left( x \right)\).

1) Với hai số không âm \[a,\,\,b\], ta chứng minh

\[a + b \ge 2\sqrt {ab} \].            (1)

\[{\left( {a + b} \right)^2} \le 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\].        (2)

Đẳng thức xảy ra khi \[a = b\].

Thật vậy

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\] (luôn đúng).

\[\left( 2 \right) \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \le 2{a^2} + 2{b^2} \Leftrightarrow 0 \le {\left( {a - b} \right)^2}\] (luôn đúng).

Áp dụng (2):

\[{\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Rightarrow 4 \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2\].

Áp dụng (1):

\[\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4} + \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} \ge 2\sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{4\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}} \Rightarrow \frac{{{x^2} + {y^2}}}{4} + \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} \ge 1\].

Ta có

\[\min B = \frac{5}{2}\].

Đẳng thức xảy ra khi

\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 2\\x + y = 2\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\].

Vậy \[\min B = \frac{5}{2}\].

2) Nhận xét \(Q\left( x \right) = \left( {x - 5} \right)\left( {x + 1} \right)\).

Gọi \(T\left( x \right)\) là đa thức thương, \(R\left( x \right)\) là đa thức dư khi chia \(P\left( x \right)\) cho \(Q\left( x \right)\), nghĩa là \(P\left( x \right) = Q\left( x \right)T\left( x \right) + R\left( x \right)\).

Vì bậc của \(Q\left( x \right)\) là 2 nên bậc của \(R\left( x \right)\) tối đa là 1.

Khi đó \(R\left( x \right) = ax + b\) (với \(a,\,\,b\) là các hệ số thực).

Khi chia \(P\left( x \right)\) cho đa thức \(\left( {x - 5} \right)\) thì được dư là 7, suy ra \(P\left( 5 \right) = 7\).

Khi chia \(P\left( x \right)\) cho đa thức \(\left( {x + 1} \right)\) thì được dư là 1, suy ra \(P\left( { - 1} \right) = 1\).

Ta có: \(P\left( x \right) = \left( {x - 5} \right)\left( {x + 1} \right)T\left( x \right) + ax + b\).

Cho \(x = 5\), ta được: \(7 = 5a + b\).      (1)

Cho \(x = - 1\), ta được: \(1 = - a + b\).  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\).

Vậy \(R\left( x \right) = x + 2\).