Một tờ giấy hình tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 8{\rm{ cm}}\), \(AB = 6{\rm{ cm}}\). Ở góc \(A\), người ta cắt ra một hình vuông \(AMNP\) (\(M \in AB,P \in AC\)) có cạnh bằng \(2{\rm{ cm}}\) (tham khảo hình bên). Tính khoảng cách từ \(N\) đến \(BC\).

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{4}{{x - 2\sqrt x }}} \right):\frac{{\sqrt x  + 2}}{2}\) với \(x > 0,x \ne 4\). 

a) Rút gọn biểu thức \(P\).

b) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \[P \ge 1\].

Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) có các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\)cắt nhau tại \(H\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(EF\) và \(AH\), kẻ \(IJ\) song song với \(BC\) (\(J \in HE\)). Đường thẳng \(AJ\) cắt \(BC\) tại \(M\).

a) Chứng minh rằng tứ giác \[AIJE\] nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng \(D\) là trung điểm \(BM\).

c) Gọi \(L\) là giao điểm của hai đường thẳng \(EF\) và \(BC\). Chứng minh rằng \(\widehat {FLB} = \widehat {CAM}\).

Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y =  - 2x + 3\).

a) Giải phương trình \({x^4} + 5{x^2} - 6 = 0\).

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {3y + 1} \right) - y = 3\\{x^2} + {y^2} + xy = 3\end{array} \right.\).

c) Cho phương trình \({x^2} + 2mx + {m^2} - 2m + 4 = 0\) (\(m\)là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{\rm{ }}{x_2}\) thỏa \(\left( {{x_1} + m} \right)\left( {{x_2} + m} \right) = {m^2} - 6m + 7\).