Một tờ giấy hình tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 8{\rm{ cm}}\), \(AB = 6{\rm{ cm}}\). Ở góc \(A\), người ta cắt ra một hình vuông \(AMNP\) (\(M \in AB,P \in AC\)) có cạnh bằng \(2{\rm{ cm}}\) (tham khảo hình bên). Tính khoảng cách từ \(N\) đến \(BC\).

a) Ta có: \(P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{4}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}} \right).\frac{2}{{\sqrt x  + 2}}\)

\( = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x  + 2}}\)

\( = \frac{{2\left( {x - 4} \right)}}{{\sqrt x .(x - 4)}}\)

\( = \frac{2}{{\sqrt x }}\)

b) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \[P \ge 1\].

\[P \ge 1 \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 1\]

\[ \Rightarrow \sqrt x  \le 2\]

\[ \Rightarrow x \le 4\]

Do \(x > 0,x \ne 4\) nên \[0 < x < 4\]

a) Giải phương trình \({x^4} + 5{x^2} - 6 = 0\).

Đặt \(t = {x^2}\) \(\left( {t \ge 0} \right)\)

Ta được phương trình \({t^2} + 5t - 6 = 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 6{\rm{  (loai)}}\end{array} \right.\)

Với \(t = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x =  \pm 1\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x =  \pm 1\).

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {3y + 1} \right) - y = 3\\{x^2} + {y^2} + xy = 3\end{array} \right.\).

\(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {3y + 1} \right) - y = 3\\{x^2} + {y^2} + xy = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + 3xy = 3\\{\left( {x - y} \right)^2} + 3xy = 3\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - y\\v = xy\end{array} \right.\)

Ta có hệ phương trình  \[\left\{ \begin{array}{l}u + 3v = 3\\{u^2} + 3v = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + 3v = 3\\{u^2} - u = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{{3 - u}}{3}\\\left[ \begin{array}{l}u = 0\\u = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 0\\v = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = \frac{2}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\]

Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 0\\v = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\xy = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 1\\x = y =  - 1\end{array} \right.\).

Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = \frac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\xy = \frac{2}{3}\end{array} \right.\)  \( \Rightarrow \)hệ có nghiệm là \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + \sqrt {33} }}{6}\\y = \frac{{ - 3 + \sqrt {33} }}{6}\end{array} \right.\)  hoặc  \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3 - \sqrt {33} }}{6}\\y = \frac{{ - 3 - \sqrt {33} }}{6}\end{array} \right.\).

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm \(\left( {1;1} \right),\,\,\,\left( { - 1; - 1} \right),\,\,\)\(\left( {\frac{{3 + \sqrt {33} }}{6};\frac{{ - 3 + \sqrt {33} }}{6}} \right),\,\left( {\frac{{3 - \sqrt {33} }}{6};\frac{{ - 3 - \sqrt {33} }}{6}} \right)\).

c) Cho phương trình \({x^2} + 2mx + {m^2} - 2m + 4 = 0\) (\(m\)là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{\rm{ }}{x_2}\) thỏa \(\left( {{x_1} + m} \right)\left( {{x_2} + m} \right) = {m^2} - 6m + 7\).

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{\rm{ }}{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' = 2m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 2\).

Theo hệ thức Vi-et \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} =  - 2m\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = {m^2} - 2m + 4\end{array} \right.\)

Ta có \(\left( {{x_1} + m} \right)\left( {{x_2} + m} \right) = {m^2} - 6m + 7 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + m\left( {{x_1} + {x_1}} \right) + {m^2} = {m^2} - 6m + 7\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 3 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 3\end{array} \right.\)

So với điều kiện ta có \(m = 3\) là giá trị cần tìm.