1)    Giải phương trình \(\sqrt {x - 3}  - \sqrt {2x - 7}  = 2x - 8\)

2)    Cho \(a,b\) và \(c\) là các số thực khác \(0\) thỏa mãn điều kiện \({a^2} - {c^2} = c,{c^2} - {b^2} = b\) và \({b^2} - {a^2} = a.\) Chứng minh \(\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) = 1.\)

2)\({x^3}y - {x^2}y - 4{x^2} + 5xy - {y^2} = 0 \Leftrightarrow xy\left( {{x^2} - x + 1} \right) = {\left( {2x - y} \right)^2}\,\,(1)\)

Gọi \(d = \left( {x;y} \right) \Rightarrow x = da;y = db\) với \(\left( {a;b} \right) = 1\) và \(a,b,d\) nguyên dương.

Khi đó (1) trở thành \({d^2}ab\left( {{d^2}{a^2} - da + 1} \right) = {d^2}{\left( {2a - b} \right)^2} \Leftrightarrow ab\left( {{d^2}{a^2} - da + 1} \right) = {\left( {2a - b} \right)^2}.\)

Suy ra \({\left( {2a - b} \right)^2} \vdots a\) và \({\left( {2a - b} \right)^2} \vdots b\)

Ta có \({\left( {2a - b} \right)^2} \vdots a\) mà \(\left( {a;b} \right) = 1\)\( \Rightarrow \left( {2a - b;a} \right) = 1 \Rightarrow \left( {{{\left( {2a - b} \right)}^2};a} \right) = 1\) do đó \(a = 1.\)

Từ \({\left( {2a - b} \right)^2} \vdots b\)\( \Rightarrow 4{a^2} \vdots b\) mà \(\left( {a;b} \right) = 1\)\( \Rightarrow 4 \vdots b \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 1}\\{b = 2}\\{b = 4}\end{array}} \right.\,\,({\rm{do}}\,\,b > 0)\)

+) TH1: \(a = b = 1 \Rightarrow x = y = d.\)

Thay vào giả thiết ta được \({d^4} - {d^3} = 0 \Rightarrow d = 1\) (do \(d\) nguyên dương)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 1}\end{array}.} \right.\)

+) TH2: \(a = 1;b = 2\) không thỏa mãn.

+) TH3: \(a = 1;b = 4\) suy ra \(x = d;y = 4d\)

Thay vào giả thiết ta được \({d^4} - {d^3} = 0 \Rightarrow d = 1\)(do \(d\) nguyên dương)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 4}\end{array}.} \right.\)

Thử lại ta thấy cặp số \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;4} \right)} \right\}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = 1 - a - c \le 1 - a}\\{3x = 1 + b - a \ge 1 - a}\end{array}} \right.\)

- Tìm GTLN của \(P\)

\(P \le \left( {a + 3} \right)\left( {1 - a} \right)\left( {a + \frac{{1 - a}}{2}} \right) = \frac{1}{4}\left( {3 - 2a} \right)\left( {2 + 2a} \right) \le \frac{1}{4}.\frac{{{{\left( {3 - 2a + 2 + 2a} \right)}^2}}}{4} = \frac{{25}}{{16}}\)

Vậy GTLN của \(P = \frac{{25}}{{16}}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(c = 0,a = \frac{1}{4},b = \frac{3}{8}.\)

- Tìm GTNN của \(P\)

\(P \ge \left[ {a + 2\left( { - a} \right)} \right]\left[ {a + \frac{{1 - a}}{3}} \right] = \frac{1}{3}\left( {2{a^2} + 5a + 2} \right) \ge \frac{2}{3}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 0,c = \frac{1}{3}.\)