Cho \(2023\) điểm nằm trong một hình vuông cạnh \(1.\) Một tam giác đều được gọi là phủ điểm \(M\)nếu điểm \(M\)nằm trong tam giác hoặc nằm trên cạnh của tam giác.

1) Chứng minh tồn tại tam giác đều cạnh \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\) phủ ít nhất \(253\) điểm trong \(2023\) điểm đã cho.

2) Chứng minh tồn tại tam giác đều cạnh \(\frac{{11}}{{12}}\) phủ ít nhất \(506\) điểm trong \(2023\) điểm đã cho.

2)\({x^3}y - {x^2}y - 4{x^2} + 5xy - {y^2} = 0 \Leftrightarrow xy\left( {{x^2} - x + 1} \right) = {\left( {2x - y} \right)^2}\,\,(1)\)

Gọi \(d = \left( {x;y} \right) \Rightarrow x = da;y = db\) với \(\left( {a;b} \right) = 1\) và \(a,b,d\) nguyên dương.

Khi đó (1) trở thành \({d^2}ab\left( {{d^2}{a^2} - da + 1} \right) = {d^2}{\left( {2a - b} \right)^2} \Leftrightarrow ab\left( {{d^2}{a^2} - da + 1} \right) = {\left( {2a - b} \right)^2}.\)

Suy ra \({\left( {2a - b} \right)^2} \vdots a\) và \({\left( {2a - b} \right)^2} \vdots b\)

Ta có \({\left( {2a - b} \right)^2} \vdots a\) mà \(\left( {a;b} \right) = 1\)\( \Rightarrow \left( {2a - b;a} \right) = 1 \Rightarrow \left( {{{\left( {2a - b} \right)}^2};a} \right) = 1\) do đó \(a = 1.\)

Từ \({\left( {2a - b} \right)^2} \vdots b\)\( \Rightarrow 4{a^2} \vdots b\) mà \(\left( {a;b} \right) = 1\)\( \Rightarrow 4 \vdots b \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 1}\\{b = 2}\\{b = 4}\end{array}} \right.\,\,({\rm{do}}\,\,b > 0)\)

+) TH1: \(a = b = 1 \Rightarrow x = y = d.\)

Thay vào giả thiết ta được \({d^4} - {d^3} = 0 \Rightarrow d = 1\) (do \(d\) nguyên dương)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 1}\end{array}.} \right.\)

+) TH2: \(a = 1;b = 2\) không thỏa mãn.

+) TH3: \(a = 1;b = 4\) suy ra \(x = d;y = 4d\)

Thay vào giả thiết ta được \({d^4} - {d^3} = 0 \Rightarrow d = 1\)(do \(d\) nguyên dương)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 4}\end{array}.} \right.\)

Thử lại ta thấy cặp số \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;4} \right)} \right\}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = 1 - a - c \le 1 - a}\\{3x = 1 + b - a \ge 1 - a}\end{array}} \right.\)

- Tìm GTLN của \(P\)

\(P \le \left( {a + 3} \right)\left( {1 - a} \right)\left( {a + \frac{{1 - a}}{2}} \right) = \frac{1}{4}\left( {3 - 2a} \right)\left( {2 + 2a} \right) \le \frac{1}{4}.\frac{{{{\left( {3 - 2a + 2 + 2a} \right)}^2}}}{4} = \frac{{25}}{{16}}\)

Vậy GTLN của \(P = \frac{{25}}{{16}}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(c = 0,a = \frac{1}{4},b = \frac{3}{8}.\)

- Tìm GTNN của \(P\)

\(P \ge \left[ {a + 2\left( { - a} \right)} \right]\left[ {a + \frac{{1 - a}}{3}} \right] = \frac{1}{3}\left( {2{a^2} + 5a + 2} \right) \ge \frac{2}{3}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 0,c = \frac{1}{3}.\)