Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^2} - 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(C\left( {1;4} \right)\). Tổng các giá trị nguyên dương của \(m\) để \(\left( C \right)\) có hai điểm cực trị \(A,B\) sao cho tam giác \(ABC\) có diện tích bằng 4 là:

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Xác định tọa độ cực trị, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Lời giải

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6mx,y' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2m}\end{array}} \right.\)

Đồ thị \(\left( C \right)\) luôn có hai điểm cực trị với mọi \(m\) nguyên dương (vì \(m\) là số nguyên dương nên phương trình \(y' = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt).

Khi đó \(A\left( {0;4{m^2} - 2} \right),B\left( {2m; - 4{m^3} + 4{m^2} - 2} \right)\)

\( \Rightarrow AB = \sqrt {4{m^2} + 16{m^6}} = 2\left| m \right|\sqrt {4{m^4} + 1} \)

Phương trình đường thẳng \(AB\):

\(\frac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}} \Rightarrow \frac{{x - 0}}{{2m - 0}} = \frac{{y - \left( {4{m^2} - 2} \right)}}{{ - 4{m^3}}} \Leftrightarrow 2{m^2}x + y - 4{m^2} + 2 = 0\)

Thay tọa độ điểm \(C\) vào phương trình đường thẳng \(AB\), dễ thấy điểm \(C \notin AB\)

\(d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {2{m^2} + 4 - 4{m^2} + 2} \right|}}{{\sqrt {4{m^4} + 1} }} = \frac{{2\left| {{m^2} - 3} \right|}}{{\sqrt {4{m^4} + 1} }}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.2.\left| m \right|\sqrt {4{m^4} + 1} .\frac{{2\left| {{m^2} - 3} \right|}}{{\sqrt {4{m^4} + 1} }} = 4\)

\( \Leftrightarrow \left| {m\left( {{m^2} - 3} \right)} \right| = 2 \Leftrightarrow {m^6} + 9{m^2} - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 1} \right)^2}\left( {{m^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \pm 1}\\{m = \pm 2}\end{array}} \right.\)

Do \(m\) nguyên dương nên ta nhận được \(m \in \left\{ {1;2} \right\}\)