Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( {x - 2} \right) + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{7}{2}{x^2} + 12x + 1$
$g'\left( x \right) = f'\left( {x - 2} \right) + {x^2} - 7x + 12$
Để hàm số đồng biến :
$ \Rightarrow g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow f'\left( {x - 2} \right) + {x^2} - 7x + 12 > 0 \Leftrightarrow f'\left( {x - 2} \right) > - {x^2} + 7x - 12$
$ \Leftrightarrow f'\left( {x - 2} \right) > - \left( {x - 2} \right)\left( {x - 2 - 3} \right) - 2$
Đặt $t = x - 2 \Rightarrow f'\left( t \right) > - t\left( {t - 3} \right) - 2 \Leftrightarrow f'\left( t \right) > - {t^2} + 3t - 2$
Vẽ đồ thị hàm số: $h\left( t \right) = - {t^2} + 3t - 2$

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Hàm số y = f'(X) có đồ thị như hình vẽ: (ảnh 2)

Dựa vào tương giao hai đồ thị ta thấy
$f'\left( t \right) > - {t^2} + 3t - 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < t < 1,( - 2 < a < - 1)}\\{t > 2}\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < x - 2 < 1}\\{x - 2 > 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + 2 < x < 3}\\{x > 4}\end{array}} \right.} \right.$
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( {a + 2;3} \right),( - 2 < a < - 1)$ và $\left( {4;7} \right)$.

Câu 2

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị y = f'(x) như hình vẽ bên. Đặt g(x)=f(x-m) +12(x-m-1)2 + 2025, với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y = g(x) đồng biến trên khoảng (5;6). Tổng tất cả các phần tử trong S bằng bao nhiêu? (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án: ___

Lời giải

Đáp án đúng là "14"

Phương pháp giải

phương pháp đổi biến số

Lời giải

Ta có : $g'\left( x \right) = f'\left( {x - m} \right) - \left( {x - m - 1} \right)$
$g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {x - m} \right) = x - m - 1$
Đặt: $t = x - m \Rightarrow f'\left( t \right) = t - 1$
Khi đó nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = f'\left( t \right)$ và đường thẳng $y = t - 1$

Dựa vào đồ thị ta được $f'\left( t \right) = t - 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = - 1}\\{t = 1}\\{1 = 3}\end{array}} \right.$
Bảng xét dấu của $g'\left( t \right)$

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số $g\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$
Hay: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 < t < 1}\\{t > 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 < x - m < 1}\\{x - m > 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 < x < m + 1}\\{x > m + 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Để hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {5;6} \right)$ thì $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 \le 5 \le m + 1}\\{m + 3 \le 5 < 6}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{5 \le m \le 6}\\{m \le 2}\end{array}} \right.} \right.$
Vì $m$ là các số nguyên dương nên $S = \left\{ {1;2;5;6} \right\}$
Vậy tổng tất cả các phần tử của $S$ là : 14

Câu 3

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;2} \right)$.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

Lời giải

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải
Dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm

Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {0;2} \right)$

Câu 4

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho đồ thị của hàm số $y = \frac{{{\rm{tan}}x - 2}}{{{\rm{tan}}x - m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)$?

A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 0}\\{1 \le m < 2}\end{array}} \right.$.

B. $m \le 0$.

C. $1 \le m < 2$.

D. $m \ge 2$.

Lời giải

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải
Đặt $t = {\rm{tan}}x$, khảo sát hàm số nhận được

Lời giải
Đặt $t = {\rm{tan}}x$, vì $x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)$
Xét hàm số: $f\left( t \right) = \frac{{t - 2}}{{t - m}}\forall t \in \left( {0;1} \right)$. Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$
Ta có$:f'\left( t \right) = \frac{{2 - m}}{{{{(t - m)}^2}}}$
Để hàm số $y$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow f'\left( t \right) > 0\forall t \in \left( {0;1} \right)$
$ \Leftrightarrow \frac{{2 - m}}{{{{(t - m)}^2}}} > 0\forall t \in \left( {0;1} \right)$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - m > 0}\\{m \notin \left( {0;1} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 0}\\{m \ge 1}\end{array}{\rm{\;}}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;0\left] \cup \right[1;2} \right)} \right.} \right.$

Câu 5

Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^2} - 2$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $C\left( {1;4} \right)$. Tổng các giá trị nguyên dương của $m$ để $\left( C \right)$ có hai điểm cực trị $A,B$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng 4 là:

A. 6.

B. 5.

C. 3.

D. 2.

Lời giải

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Xác định tọa độ cực trị, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Lời giải

Ta có: $y' = 3{x^2} - 6mx,y' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2m}\end{array}} \right.$

Đồ thị $\left( C \right)$ luôn có hai điểm cực trị với mọi $m$ nguyên dương (vì $m$ là số nguyên dương nên phương trình $y' = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt).

Khi đó $A\left( {0;4{m^2} - 2} \right),B\left( {2m; - 4{m^3} + 4{m^2} - 2} \right)$

$ \Rightarrow AB = \sqrt {4{m^2} + 16{m^6}} = 2\left| m \right|\sqrt {4{m^4} + 1} $

Phương trình đường thẳng $AB$:

$\frac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}} \Rightarrow \frac{{x - 0}}{{2m - 0}} = \frac{{y - \left( {4{m^2} - 2} \right)}}{{ - 4{m^3}}} \Leftrightarrow 2{m^2}x + y - 4{m^2} + 2 = 0$

Thay tọa độ điểm $C$ vào phương trình đường thẳng $AB$, dễ thấy điểm $C \notin AB$

$d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {2{m^2} + 4 - 4{m^2} + 2} \right|}}{{\sqrt {4{m^4} + 1} }} = \frac{{2\left| {{m^2} - 3} \right|}}{{\sqrt {4{m^4} + 1} }}$

$ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.2.\left| m \right|\sqrt {4{m^4} + 1} .\frac{{2\left| {{m^2} - 3} \right|}}{{\sqrt {4{m^4} + 1} }} = 4$

$ \Leftrightarrow \left| {m\left( {{m^2} - 3} \right)} \right| = 2 \Leftrightarrow {m^6} + 9{m^2} - 4 = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 1} \right)^2}\left( {{m^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \pm 1}\\{m = \pm 2}\end{array}} \right.$

Do $m$ nguyên dương nên ta nhận được $m \in \left\{ {1;2} \right\}$

Ñ Học sinh nên kiểm tra điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị và điều kiện để ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng

Câu 6

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $ℝ \ 1$ và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ

Biết f(0) . f(1) < 0. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = 2 f |x - 2| - 3 |$ là bao nhiêu? ( nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án: __

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nhóm	Tần số	Tần số tích lũy
\(\left[ {50;60} \right)\)	4	4
\(\left[ {60;70} \right)\)	5	9
\(\left[ {70;80} \right)\)	23	32
\(\left[ {80;90} \right)\)	6	38
\(\left[ {90;100} \right)\)	2	40
	\(n = 40\)

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Bright

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý